Раздел 4. Типовые динамические звенья. Переходные и частотные характеристики типовых звеньев
4.1 УСИЛИТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО, АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-ГО И 2-ГО ПОРЯДКОВ. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО. ИДЕАЛЬНОЕ И РЕАЛЬНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ. ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ — ИДЕАЛЬНОЕ И РЕАЛЬНОЕ. НЕ МИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫЕ ЗВЕНЬЯ, ЗВЕНО ТРАНСПОРТНОГО ЗАПАЗДЫВАНИЯ
Динамическое звено
При изучении САУ ее схему удобно представлять не в виде соединения ее элементов, классифицированных по функциональному назначению и принципу действия, а в виде структурной схемы, т.е. в виде соединения динамических звеньев.
Динамическое звено - это математическая модель элемента или его части, записанная в виде дифференциального уравнения или передаточной функции.
В ТАУ динамические звенья, которые описываются дифференциальными уравнениями не выше второго порядка, принято называть типовыми динамическими звеньями.
Минимально фазовые и неминимально фазовые звенья
Передаточную
функцию звена (элемента системы
автоматического управления)
можно преобразовать, разложив на
множители полиномы ее числителя и
знаменателя. Конечно, если известны
корни уравнений
(нули) и
(полюса).
.
Если
в передаточной функции произвести
замену
,
то получаем
,
называемое частотной характеристикой
звена (частотный коэффициент передачи
звена).
Общая фаза выходного сигнала звена будет складываться из частичных фаз, определяемых каждым двучленом числителя и знаменателя. Об этом будет более подробно в соответствующем разделе ниже.
Корни
полиномов числителя и знаменателя
можно
изобразить на плоскости.
Комплексная
плоскость корней
и
:
Отсюда:
1.
Корень
расположен в правой полуплоскости, то
есть ReSe0
.
2.
Корень
расположен в левой полуплоскости, то
есть ReSk0
.
3.
Углы наклона векторов
и
таковы, что ke,
причем
,
.
Звено, у которого все корни (полюса и нули) расположены в левой полуплоскости (являются левыми) называется минимально фазовым звеном.
Если хотя бы один из корней звена расположен справа, то такое звено - не минимально фазовое звено.
У минимально фазовых звеньев существует однозначная зависимость между частотными характеристиками.
То есть, располагая одной частотной характеристикой, можно построить остальные. Другими словами, в любой частотной характеристике заключена вся информация о поведении звена.
Неустойчивые звенья - всегда не минимально фазовые.
Типовые звенья. Характеристики звеньев
Все многообразие звеньев может быть по математическому описанию представлено лишь несколькими характерными (типовыми) звеньями.
Минимально фазовые звенья:
Идеальное усилительное звено (пропорциональное безинерционное, усилительное, звено нулевого порядка);
Реальное усилительное звено (апериодическое, генерационное первого порядка);
Идеальное дифференцирующее звено;
Реальное дифференцирующее звено;
Идеальное интегральное звено;
Идеальное формирующее звено;
Звенья второго порядка:
Апериодическое;
Колебательное;
Консервативное.
Не минимально фазовые звенья:
Звено чистого запаздывания;
Квазипериодическое звено;
Квазиколебательное звено.
Идеальное усилительное звено
Это рычаг - идеальное звено, если пренебречь весом и потерями в подшипниках.
Получим
частотные характеристики идеального
усилительного звена. Заменяем в
передаточной функции
:
;
Тогда
ВЧХ и МЧХ звена будут определяться как
;
;
Фазовая
частотная характеристика ФЧХ звена:
;
Амплитудная
частотная характеристика АЧХ:
;
Логарифмическая
амплитудная характеристика ЛАХ звена:
.
Переходная
характеристика
ℒ
.
Весовая
функция
.
Все характеристики идеального усилительного звена изображены на рисунках:
Реальное усилительное звено
Математические модели данного звена имеют вид:
дифференциальное
уравнение:
;
соответствующая ему передаточная
функция:
;
частотные характеристики:
-
АФЧХ;
-
ВЧХ;
- МЧХ; причем
,
.
Следовательно,
(АФЧХ) располагается в четвертом
квадранте координатной плоскости.
Кроме того
(выполнили
деление). Если подставить
в
,
то получим
,
откуда после преобразований:
;
;
.
Имеем
окружность радиусом
,
сдвинутую на
вправо по оси абсцисс.
Можно утверждать, что АФЧХ расположена:
Амплитудно-частотная
характеристика реального усилительного
звена имеет вид:
Фазово-частотная
характеристика:
,
причем
,
.
На графиках представлены все полученные зависимости:
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАХ):
.
Для ее построения выполним исследования.
а) Зона низкой частоты. Н.Ч.
,
.
б) Зона высокой частоты. В.Ч.
,
;
;
Наклон
характеристики в области высоких частот
.
Определим погрешность в точке = 1/T.
.
Это
соответствует ошибке по коэффициенту
усиления в
раз. Но ошибка с изменением частоты
быстро уменьшается (смотри на рисунок).
Значит, имеет смысл пользоваться
асимптотическими характеристиками.
Для
определения переходной характеристики
звена можно выполнить обратное
преобразование Лапласа:
ℒ
.
Весовая
функция реального усилительного звена:
.
По переходной характеристике h(t) можно определить характеристики звена (постоянную времени и коэффициент усиления).
Аналогично те же величины можно определить и из весовой функции звена
Идеальное дифференцирующее звено
Дифференциальное
уравнение, передаточная функция и АФЧХ
звена имеют вид:
;
.
ВЧХ, МЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАХ звена соответственно равны:
;
;
;
;
.
Ниже представлены графики этих зависимостей:
Переходная характеристика и весовая функция звена равны:
ℒ
ℒ
ℒ
;
.
Примеры дифференцирующих звеньев:
1)
|
|
|
||
2)
|
|
y = Ic ; x = Uc . |
||
3)
|
|
y = UL ; x = IL . |
||
.
;
.
Во всех трех случаях имеет место идеальное дифференцирование.
Дифференцирующие звенья - лучшее средство коррекции!
Реальное дифференцирующее звено
Дифференциальное
уравнение и передаточная функция такого
звена имеют вид:
.
Примером реального дифференцирующего звена может служить RC - цепочка:
с
передаточной функцией
.
Амплитудно-фазовая
частотная характеристика реального
дифференцирующего звена:
;
ВЧХ
и МЧХ:
Причем,
при
,
.
Вся АФЧХ расположится в первом квадранте.
Так же, как для апериодического звена,
можно показать, что это уравнение
окружности.
АЧХ:
;
ЛАХ:
Для построения ЛАХ рассматриваются две частотные области - низкочастотная и высокочастотная:
Н.Ч.:
;
В.Ч.:
.
ФЧХ:
Переходная характеристика:
ℒ
;
Весовая
функция:
.
Это звено также опережающее и его можно применять для коррекции.
Интегрирующее звено
Данному
звену соответствует интегральное
уравнение
и передаточная функция
.
Ниже приведены частотные характеристики интегрирующего звена.
АФЧХ:
;
ВЧХ:
;
МЧХ:
;
АЧХ:
;
ФЧХ:
;
ЛАХ:
.
Построение их не вызывает сложностей. ЛАХ интегрирующего звена изображена на рисунке:
Форсирующее звено
Данное звено используется в системах автоматического управления для целей коррекции. Его передаточная функция имеет вид:
;
Частотные характеристики:
АФЧХ:
;
ВЧХ:
;
МЧХ:
;
ФЧХ:
;
;
при
.
АЧХ:
.
ЛАХ:
;
Для построения ЛАХ форсирующего звена рассматриваются области низких частот НЧ и высоких частот ВЧ:
НЧ:
;
;
ВЧ:
;
.
Точка
пересечения ЛАХ оси ординат определяется
как:
.
Квазиинерционное звено
Имеется
две разновидности квазиинерционного
звена, представленные передаточными
функциями
и
.
В обоих случаях корни полинома
знаменателя передаточной функции
(полюса звена) - положительные.
Следовательно, звено является не
минимально фазовым.
Для
первого звена его АФЧХ:
.
Соответственно ВЧХ и МЧХ: , .
АЧХ:
(такая же, как у инерционного звена).
ФЧХ:
,
причем
,
а
.
Следовательно, фазовая характеристика
поменяла знак по сравнению с фазовой
характеристикой инерционного звена.
Для построения АФЧХ звена выполним следующие преобразования:
,
,
,
,
- получили уравнение окружности. А так
как
и
,
то графиком АФЧХ является полуокружность,
расположенная в первом квадранте:
Получим частотные характеристики для второй разновидности квазиинерционного звена.
АФЧХ:
;
ВЧХ:
;
МЧХ:
;
ФЧХ:
Для построения АФЧХ выполняются аналогичные преобразования:
;
;
.
АЧХ:
- совпадает с характеристикой предыдущего
звена и реального усилительного звена.
Звенья второго порядка. Передаточные функции
Математически
модели данных звеньев могут быть
представлены дифференциальным уравнением
и передаточной функцией
.
В
зависимости от величины коэффициентов
это звено может быть апериодическим
второго порядка, колебательным, либо
консервативным.
Примером звена второго порядка является RLC-цепочка:
Получим
передаточную функцию RLC-цепочки.
На основании законов Кирхгофа имеем:
;
;
.
Далее, после соответствующих подстановок
и преобразований, получаем дифференциальное
уравнение в операторной форме:
и передаточную функцию:
.
где
постоянные времени
.
Другим примером может служить двигатель постоянного тока независимого возбуждения
Если составить уравнение якорной цепи и уравнение движения:
,
;
,
то можно получить передаточную функцию:
где
.
В зависимости от постоянных времени Тм и Тя двигатель может являться либо колебательным, либо апериодическим звеном второго порядка:
Если 
,
то звено апериодическое 2 порядка;
Если
,
- колебательное звено;
Если 
,
- граничный случай.
Представим передаточную функция звена второго порядка в виде:
где
;
.
Характеристическое
уравнение (смотри знаменатель передаточной
функции):
,
корни которого:
.
Если
постоянные таковы, что
,
то корни
.
Такому звену соответствует апериодическое
движение 2 порядка. Передаточная функция
трансформируется к виду:
.
Если
,
тогда корни
- движение колебательное.
Если
- граничный случай:
.
Если
,
- консервативное звено. Физически это
означает, что в данном звене отсутствует
рассеяние энергии. Звено теряет свойство
диссипативности. При этом
.
Передаточную функцию колебательного звена можно привести к виду:
,
где
- частота собственных, недемифированных
колебаний (при
).
,
откуда
,
- коэффициент затухания.
1) 0 < <1 - звено колебательное.
2) > 1 - апериодическое звено.
Частотные характеристики звеньев второго порядка
АФЧХ:
ВЧХ:
;
МЧХ:
;
АЧХ:
;
ЛАХ:
.
Ниже приводится изображение частотных характеристик
Для построения логарифмической амплитудной характеристики рассматриваются области частот:
Н.
Ч.
;
.
В.
Ч.
;
;
.
Асимптотической ЛАХ пользоваться нельзя. Очень велика погрешность. При =1 она составляет 6 дб. На практике пользуются нормированными кривыми поправок (добавок).
ФЧХ:
,
,
при
< 1/T1,
при
> 1/T1.
ЛФХ: Логарифмическую фазовую характеристику, как и амплитудную, также можно брать нормированную (из соответствующего справочника):
Переходная характеристика звена:
ℒ-1
.
Весовая функция звена определяется путем дифференцирования переходной характеристики.
Звено чистого запаздывания
.
Упрощения: 1) пусть волна идет только в сторону возрастания r;
2) если r
= 0, то
;
если r
= l,
то
.
Передаточная
функция:
.
В качестве примера звена чистого запаздывания может служить транспортер:
|
- время чистого запаздывания. |
;
.
Другим примером являются длинные линии.
|
|
;
. Чистое
запаздывание имеет место в тиристорных
преобразователях. Здесь
.
m
-пульсность управления. Характеризует
число пульсаций или гармоник на периоде
сетевого напряжения. Пусть
.
Тогда при частоте
.
Ввиду важности звена тиристорного преобразователя в системах автоматического управления электроприводами звено чистого запаздывания имеет несколько видов аппроксимации.
1)
.
-
коэффициент передачи тиристорного
преобразователя.
- информационная постоянная времени
системы управления (постоянная входного
фильтра).
Если первая гармоника входного сигнала одного порядка с частотой питающего напряжения, то сильно сказывается свойство полууправляемости тиристоров и чистое запаздывание необходимо принимать в рассмотрение. Данный эффект имеет место при наличии на входе системы высокочастотных помех. Заканчивается в течение периода питающего напряжения тиристорного преобразователя.
2)
где
.
Получается в результате разложения
в ряд Тейлора:
.
Если учесть только один член разложения,
тогда
.
3)
- тиристорный преобразователь
представляется пропорциональным
звеном.
Решение уравнения дает бесконечное число нулей и полюсов.
Получили первый признак неминимальной фазовости – нули оказались в правой полуплоскости.
Рассмотрим частотные характеристики звена чистого запаздывания.
;
;
;
.
Одному и тому же значению А() соответствует несколько k. Следовательно АЧХ - неоднозначная частотная характеристика.
Рассмотрим очень медленный процесс. Переходная характеристика
ℒ-1
ℒ-1
.
Весовая
функция
.
