10.4 Абсолютная устойчивость положения равновесия. Критерий в.М. Попова Критерий в.М. Попова

Для исследования устойчивости систем со статической нелинейной характеристикой, удовлетворяющей определенным ограничениям, В.М. Поповым был предложен простой способ [3, 13], аналогичный частотным методам анализа устойчивости линейных систем.

Этот способ позволяет оценить так называемую абсолютную устойчивость, т. е. экспоненциальную устойчивость «в малом» при любой форме нелинейности из ограниченного диапазона.

Обсудим суть метода для системы, структурная схема которой изображена на рис. 10.4.1 при условии, что .

Нелинейный элемент (НЭ) представляет собой однозначную статическую характеристику произвольного вида, удовлетворяющую ограничениям

, (10.4.1)

что соответствует заштрихованным секторам на рис. 10.4.1

Рисунок 10.4.1 - Пример ограничений на нелинейность

Все линейные звенья системы объединены в одно с передаточной функцией , причем линейная часть должна быть устойчива, т. е. .

Приведем без доказательства формулировку теоремы [13]. Нелинейная система будет абсолютно устойчива, если можно подобрать такое конечное вещественное число h, при котором будет выполняться неравенство

, (10.4.2)

где – амплитудно-фазовая характеристика линейной части системы.

Графическая интерпретация условий теоремы

На практике вместо условия (10.4.2) удобно использовать его графическую интерпретацию. С этой целью подставим в неравенство значение :

.

В результате преобразований получим

. (10.4.3)

Введем видоизмененную амплитудно-фазовую частотную характеристику

, (10.4.4)

где ; , – нормирующий множитель. Это позволяет записать неравенство (8.29) в виде

. (10.4.5)

Если теперь вместо (10.4.5) записать равенство

, (10.4.6)

то получим уравнение прямой на комплексной плоскости, которая проходит через точку с координатами . Ее наклон зависит от численного значения .

С учетом (10.4.6) можно предложить следующую формулировку графической интерпретации условий теоремы В.М. Попова. Нелинейная система будет абсолютно устойчивой, если можно подобрать хотя бы одну прямую, проходящую через точку комплексной плоскости с координатами так, чтобы видоизмененная амплитудно-фазовая характеристика линейной части находилась справа от этой прямой.

На рис. 10.4.2,а приведен пример расположения , соответствующего абсолютной устойчивости системы.

а б

Рисунок 10.4.2. Пример выполнения (а) и невыполнения (б) условий абсолютной устойчивости

Отметим, что в этом случае нелинейная система будет устойчива при любой нелинейной характеристике, удовлетворяющей условию (10.4.1).

Если не выполняется условие (10.4.5), то видоизмененная амплитудно-фазовая характеристика линейной части может иметь вид, показанный на рис. 10.4.2,б. В этом случае через характерную точку невозможно провести прямую, соответствующую графической интерпретации теоремы.

Таким образом, нелинейная система не будет абсолютно устойчивой, однако может быть асимптотически устойчивой при конкретной нелинейной характеристике. Для проверки этого условия следует воспользоваться, например, вторым методом Ляпунова.