Раздел 13. Анализ устойчивости дискретных систем

13.1 Анализ устойчивости дискретных систем. Необходимые и достаточные условия устойчивости. Аналог критерия гурвица Характеристическое уравнение и основное условие устойчивости

Если внешние воздействия заданы, то уравнения дискретной сис­темы управления можно записать в виде

(13.1.1)

или, в операторной форме,

Характеристическое уравнение имеет вид

(13.1.2)

Характеристический полином (левая часть характеристического уравнения) получается при подстановке в собственный оператор

вместо оператора смещения Е переменной z.

Если задана передаточная функция системы управления, то при определении характеристического полинома нужно исходить из следующих положений: по определению передаточной функции в операторной форме ее знаменатель есть собственный оператор, а знаменатель передаточной функции в z-изображениях совпадает с характеристическим полиномом (при условии, что передаточная функция в операторной форме не содержит одинаковых нулей и полюсов).

Общее решение неоднородного разностного уравнения (13.1.1) имеет вид

,

где у_в (t) — частное решение этого уравнения и у_с (t) — общее решение соответствующего однородного уравнения.

Линейная дискретная система управления называется устойчивой, если общее решение однородного разностного уравнения при стремится к нулю:

(13.1.3)

Если все корни характеристического уравнения простые (т.е. различные), то общее решение однородного разностного уравнения имеет вид

(13.1.4)

где C_i — произвольные постоянные. Если среди корней характеристического уравнения имеется кратный корень Zj кратности kj, то ему в (13.1.4) соответствует слагаемое

Из (13.1.4) и последнего выражения следует, что условие (13.1.3) будет выполнено в том и только том случае, когда при всех 1, 2,..., п.

Основное условие устойчивости. Для того чтобы линейная дискретная система управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были по модулю меньше единицы, или, что то же, находились внутри единичного круга на z-плоскости корней.

Алгебраические критерии устойчивости

Здесь мы рассмотрим необходимое условие устойчивости, определение устойчивости, основанное на преобразовании внутренности единичного круга в левую полуплоскость, и критерии устойчивости Джури.

Необходимое условие устойчивости. Для того чтобы все нули (корни) характеристического полинома

были по модулю меньше единицы , необходимо, чтобы при а_о > 0 выполнялись неравенства

. (13.1.5)

Чтобы доказать это утверждение, разложим полином Q*(z) на элементарные множители:

(13.1.6)

Если корень z_i является вещественным и по модулю меньше единицы, то множитель (z — z_i) при z=1 и множитель (—1)(z— z_i) при z=—1 будут положительными. Если корень z_i является комплексным, т. е. ( — вещественные числа), то существует комплексно-сопряженный корень . Произведение

при z=1 и произведение

при z= -1 будут положительными. Следовательно, из (13.1.6) следует, что если все корни характеристического полинома по модулю меньше единицы, то будут выполняться неравенства (13.1.5).

Пример 13.1.1. Характеристический полином дискретной системы имеет вид

Требуется определить устойчивость системы.

Решение. Проверим необходимое условие устойчивости. В данном случае и

Необходимое условие устойчивости не выполняется. Следовательно, система неустойчива.