Раздел 11. Системы регулирования при случайных воздействиях

11.1 Случайные процессы в аср. Типовые случайные сигналы и их характеристики Случайные процессы в аср

Для многих реальных систем управления внешние воздействия (задающие и возмущающие) являются случайными сигналами. Например, момент сопротивления в добычных механизмах и буровых станках, концентрация полезного компонента в обога­щаемой руде, нагрузка электрического генератора, питающего большое количество потребителей. Часто случайным образом изменяются параметры объектов управления (параметрические случайные возмущения). Случайную природу имеют и помехи, воз­никающие в измерительных устройствах систем управления.

Случайным сигналом называется сигнал, значения которого в каждый момент времени представляют собой случайную величину. В теории вероятностей случайную величину, изменяющуюся во времени, называют случайным процессом. Применяют также равносильные термины — «стохастический процесс» и «вероятностный процесс».

Случайный сигнал (процесс), в отличие от детерминированного, нельзя описать какой-либо одной конкретной функцией времени. Он представляет собой множество функций времени, обладающих некоторыми общими вероятностными свойствами. Конкретная функция х (t), которая получается при экспериментальном наблюдении случайного сигнала на конечном интервале, называется реализацией случайного сигнала.

Свойства случайных сигналов можно описать только при помощи понятий теории вероятностей и математической статистики.

В теории управления используются, например, такие статистические характеристики, как математическое ожидание (среднее значение), дисперсия (среднеквадратичное отклонение) и т. д.

Различают стационарные и нестационарные случайные сигналы. Статистические характеристики стационарного сигнала не изменяются во времени. Статистические свойства нестационарного сигнала с течением времени меняются.

Сущность статистического подхода к анализу и синтезу систем управления состоит в том, что при проектировании системы и оценке ее качества ориентируются не на самые «тяжелые» (но маловероятные) условия функционирования системы, а на некоторые средние, наиболее часто встречающиеся условия.

При действии случайных возмущений в системе никогда не на­ступает установившийся режим — она непрерывно переходит из одного состояния в другое. Управляемая величина х(t) и сигнал ошибки е(t) также непрерывно изменяются и представляют собой случайные сигналы. Поэтому оценку точности системы можно про­изводить только при помощи статистических характеристик — математического ожидания и дисперсии двух указанных сигналов.

В данной главе будут рассматриваться только такие случаи, когда входные и выходные сигналы являются стационарными случайными сигналами, которые можно представлять в виде суммы постоянного математического ожидания и переменной центрированной составляющей. Поэтому сигнал ошибки согласно принципу суперпозиции также можно рассматривать как сумму постоянной и переменной составляющих, т. е

. (11.1.1)

Постоянную составляющую сигнала ошибки вычисляют при помощи методов, изложенных ранее, а переменную составляющую оценивают в среднем — по величине дисперсии , которая равна дисперсии самого сигнала ошибки:

(11.1.2)

В качестве критерия оптимальности системы при случайных воздействиях принимают условие

(11.1.3)

Выбор критерия (11.1.3) целесообразен во всех случаях, когда потери, возникающие из-за неточного поддержания управляемой величины на заданном уровне, пропорциональны квадрату сигнала ошибки. Критерий (11.1.3), получивший наибольшее распространение в инженерной практике, обладает рядом преимуществ: он связан сравнительно простыми соотношениями с характеристиками системы и внешних воздействий; при часто встречающемся нормальном законе распределения случайного сигнала критерий (11.1.3) приводит к тем же результатам, что и другие, более сложные критерии.

Преимуществом критерия (11.1.3) является также то обстоятельство, что при нормальном законе распределения сигнала дисперсию сигнала можно связать с некоторыми другими статистическими показателями точности — вероятностью превышения сигналом е определенного уровня е_д, средним числом таких выбросов, средней длительностью выбросов. Например, при заданной вероятности превышения 0,003 и допустимом значении е_д дисперсия сигнала ошибки

(11.1.4)

Неравенства (11.1.4) выражают известное в теории вероятностей правило «трех сигма».

Среднее за единицу времени число выбросов, превосходящих значение е_д,

(11.1.5)

где — параметр, характеризующий среднюю скорость изменения сигнала и равный среднему за единицу времени числу пересечений сигналом линии среднего значения .

Методы расчета систем, подверженных случайным воздействиям, составляют в теории управления отдельную ветвь, называемую статистической динамикой.

Теоретической основой статистической динамики явились работы советских математиков — академиков А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина и известного американского ученого Н. Винера. Большой вклад в использовании данной теории для решения задач управления внесли советские ученые—акад. В. С. Пугачев и проф. В. В. Солодовников.

В статистической динамике различают три задачи расчета автоматических систем:

определение статистических характеристик выходных сигналов (управляемой величины и сигнала ошибки) при полностью заданной структуре системы, заданных параметрах объекта и управляющего устройства и известных характеристиках внешних воздействий; определение оптимальных параметров управляющего устройства при заданной структуре системы, заданных параметрах объекта и известных характеристиках воздействий; определение оптимальной структуры всей системы или только управляющего устройства при известных характеристиках внешних воздействий.