Исследование устойчивости, основанное на преобразовании единичного круга в левую полуплоскость

Критерии Гурвица, Льенара-Шипара и другие критерии устойчивости непрерывных систем позволяют судить, находятся все корни харак­теристического уравнения в левой полуплоскости или нет. Поэтому их нельзя непосредственно использовать для исследования устойчивости дискретных систем. Однако, очевидно, ими можно воспользоваться, если произвести преобразование переменной характеристического уравнения, при котором единичный круг преобразуется в левую полуплоскость.

Утверждение 13.1.1. При преобразовании

(13.1.7)

внутренность единичного круга на z-плоскости преобразуется в левую полуплоскость, его внешность — в правую полуплоскость и окружность (единичного радиуса) — в мнимую ось на v-плоскости.

Доказательство. Представим комплексную переменную z в тригонометрической форме и подставим в (13.1.7):

Преобразовав и разделив выражение справа на вещественную и мнимую части, получим

Так как при , то вещественная часть

отрицательна при |z|<1, положительна при |z|>1 и равна нулю при |z|=1. Следовательно, при преобразовании (13.1.7) внутренность единичного круга z -плоскости переходит в левую полуплоскость, а его внешняя часть — в правую полуплоскость z-плоскости. Окружность единичного радиуса |z|= 1 переходит в мнимую ось. Действительно, при |z|=1

и при изменении от до переменная v пробегает значения от до . Утверждение доказано.

Разрешим равенство (13.1.7) относительно z и подставим полученное выражение в характеристическое уравнение (13.1.2):

. (13.1.8)

Представим это преобразованное характеристическое уравнение в стандартной форме:

. (13.1.9)

Выражения для коэффициентов этого уравнения через коэффициенты исходного характеристического уравнения получим, если в (13.1.8) раскроем скобки и произведем приведение подобных членов, а затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в (13.1.8) и (13.1.9). Для п = 1,2,3 имеем:

п = 1: с_о = a_o — a₁, c₁=a_o + a₁; (13.1.10а)

п = 2: с₀ = a₀ – a₁ + а₂, c₁ = 2(а₀ - а₂), с₂ = а₀ + a₁ + а₂; (13.1.106)

п = 3: с₀ = а₀ – a₁ + а₂ - а₃, c₁ = 3(а₀ + а₃) – а₁ — а₂,

с₂ = 3(а₀ - а₃) + а₁ - а₂, с₃ = а₀ + a₁ + а₂ + а₃. (13.1.10в)

В силу утверждения 13.1.1, если корни исходного характеристического уравнения располагаются внутри единичного круга, то корни преобразованного характеристического уравнения (13.1.9) располагаются в левой полуплоскости.

Таким образом, для того чтобы дискретная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни преобразованного характеристического уравнения (13.1.9) располагались в левой полуплоскости (имели отрицательную вещественную часть).

Пример 13.1.2. Характеристический полином дискретной системы управления имеет вид

Определить ее устойчивость.

Решение. В данном случае

а_о = 1, а₁= —0,1, а₂ = —0,46, а_з = —0,08

и в соответствии с (13.1.10в) коэффициенты преобразованного уравнения равны

с₀ = а₀ – a₁ + а₂ - а₃= 1 + 0,1 - 0,46 + 0,08 = 0,72,

_С1 == 3(а₀ + а₃) – а₁ — а₂ = 3(1 - 0,08) + 0,1 + 0,46 = 3,32,

с₂ = 3(а₀ - а₃) + а₁ - а₂= 3(1 + 0,08) - 0,1 + 0,46 = 3,6,

с₃ = а₀ + a₁ + а₂ + а₃= 1 - 0,1 - 0,46 - 0,08 = 0,36.

Необходимое условие устойчивости выполняется: все коэффициенты преобразованного характеристического уравнения больше нуля. Определитель Гурвица 2-го порядка есть

Д₂ = c₁c₂ - с₀с₃ = 3,32 • 3,6 - 0,72 • 0,36= 11,69 > 0.

Следовательно, система устойчива.