Особенности нелинейных систем

Различают статические нелинейности существенные и слабые. Нелинейность считается слабой, если она может быть заменена линейным элементом без изменения принципиальных особенностей системы, причем процессы в такой линеаризованной системе качественно не должны отличаться от процессов в реальной системе. Нелинейность является существенной, если подобная замена невозможна. В этом случае нелинейные статические характеристики являются разрывными или близкими к разрывным функциями, чаще всего они представляются в виде кусочно-линейных функций, и процессы в линеаризованной и реальной системах сильно отличаются.

Автоматические системы с существенными нелинейностями обладают рядом принципиальных особенностей, которые не присущи линейным системам и не могут быть выявлены при исследовании линеаризованного уравнения системы. Главные особенности этих систем вытекают из их неподчинения принципу суперпозиции:

1 Колебания переходного процесса в нелинейных системах могут отличаться от входного гармонического сигнала как по форме, так и по частоте. Например, для нелинейного элемента со статической характеристикой при подаче на него входного сигнала выходные колебания не являются гармоническими, они имеют совершенно другую форму и период вдвое меньший, чем период входных колебаний (рис. 10.1.2).

В линейных же системах при подаче на вход гармонического сигнала на выходе получаем также гармонический сигнал, но другой амплитуды и сдвинутый по фазе.

2 Как известно, в линейных системах частотные характеристики не зависят от амплитуды входного сигнала и полностью определяются свойствами системы.

Рисунок 10.1.2 - Иллюстрация отличия вынужденных колебаний

нелинейного элемента от входного гармонического сигнала:

а – статическая характеристика; б – выходной сигнал нелинейного элемента

Рисунок 10.1.3 - Зависимость частотных характеристик от амплитуды входного сигнала:

а – статическая характеристика; б – вынужденные колебания нелинейного элемента

В нелинейных системах такой аппарат частотных характеристик не подходит. Здесь частотные характеристики существенно зависят от амплитуды входного сигнала, т.е M _нэ (ω, А ) , ϕ _нэ (ω,А) . Если рассмотреть нелинейный элемент со статической характеристикой, представленной на рис. 10.1.3, а, то этот элемент при малых амплитудах входного сигнала (A ≤ B) ведет себя как линейный, а при больших амплитудах входного

сигнала (A > B) выходные колебания искажаются (рис. 10.1.3, б).

3 В нелинейных системах условия устойчивости зависят от величины внешнего воздействия: система устойчива при одних значениях воздействий и неустойчива при других его значениях. Здесь нельзя говорить однозначно, устойчива система или нет.

Линейная система, например, , имеет одно единственное состояние равновесия (y (t) =0). Нелинейная система, описываемая в общем виде уравнением в динамике, имеет много состояний равновесия, определяемых нелинейным уравнением .

Для некоторых нелинейных систем, имеющих зону нечувствительности, наблюдается континиум состояний равновесия. Таким образом, в нелинейных системах говорят только об устойчивости конкретного состояния равновесия – устойчиво оно или нет. Весь строй мышления меняется, так как при одних внешних воздействиях переходной процесс сходится, а при других расходится. В связи с этим

для нелинейных систем применяют понятие "устойчивость в малом", "устойчивость в большом", "устойчивость в целом".

Система устойчива в малом, если она устойчива только при малых начальных отклонениях. Система устойчива в большом, если она устойчива при больших начальных отклонениях. Система устойчива в целом, если она устойчива при любых начальных отклонениях.

4 В нелинейных системах могут существовать собственные особые движения, получившие название автоколебаний. Автоколебания – это устойчивые собственные колебания, возникающие из-за нелинейных свойств системы при особых условиях. Режим автоколебаний принципиально отличается от колебаний линейной системы на границе устойчивости. В линейной системе малейшие изменения ее параметров приводят к изменению колебательного процесса, он становится либо сходящимся, либо расходящимся. Автоколебания являются устойчивым режимом, если малые изменения параметров системы не выводят ее из этого режима. Автоколебания могут быть и не устойчивым режимом, если малые изменения параметров системы выведут ее из этого режима. Амплитуда колебаний не зависит от начальных условий и уровня внешних воздействий.

В общем случае автоколебания в нелинейных системах нежелательны, а иногда и недопустимы.

Однако, следует отметить, что в некоторых нелинейных системах автоколебания являются основным рабочим режимом.