Раздел 3. Динамические характеристики линейных систем
3.1 Динамические характеристики линейных систем. Типовые входные воздействия, их спектры и изображения. Временные характеристики - импульсная (весовая) и переходная. Свойства. Уравнения свертки
Прежде чем изучать поведение реальных систем и их моделей, необходимо определить формальный язык, на котором будут обсуждаться их свойства. Основным элементом такого формального языка является понятие динамических характеристик, под которыми интуитивно понимают какие-либо соотношения, характеризующие свойства систем в статике и динамике (при изменении состояния).
Дадим следующее определение. Динамической характеристикой (математической моделью) системы будем называть любое соотношение, заданное аналитически, графически или в виде таблицы, которое позволяет оценить ее поведение во времени.
В этом разделе мы будем рассматривать различные способы описания линейных динамических систем, их взаимосвязь и приведение к принятой в теории автоматического управления форме записи математической модели.
Отметим, что динамическая характеристика дает возможность исследовать поведение системы, т. е. рассчитать для нее переходные процессы.
Временные характеристики представляют собой зависимость выходного сигнала системы от времени при подаче на ее вход некоторого типового воздействия. В ТАУ используются два вида временных характеристик:
-переходная характеристика (переходная функция);
-импульсная переходная характеристика (функция веса).
Переходной характеристикой h(t) называется зависимость выходного сигнала системы от времени при подаче на ее вход единичного ступенчатого воздействия 1(t) (рис.1.2) Данное входное воздействие определяется выражением
(3.1.1)
Рис.3.1.1 –Переходная характеристика
Изображение по Лапласу единичного ступенчатого воздействия будет
Обозначим изображение переходной функции как H(s), а передаточную функцию системы как W(s) и получим
.
(3.1.2)
Для аналитического определения переходной функции следует решить дифференциальное уравнение при нулевых начальных условиях и единичном входном воздействии.
При
исследовании реального объекта
переходную характеристику можно
получить экспериментальным путем,
подавая на его вход ступенчатое
воздействие и фиксируя реакцию на
выходе. Если входное воздействие
представляет собой неединичную
ступенчатую функцию
,
то выходная величина будет равна
,
т. е. представляет собой переходную
характеристику с коэффициентом
пропорциональности k
Зная переходную характеристику, можно вычислить реакцию системы на произвольное входное воздействие с помощью интеграла свертки
(3.1.3)
(
–
переменная интегрирования).
Импульсной переходной характеристикой (ИПХ) или функцией веса системы k(t) называется зависимость выходной величины от времени при подаче на вход воздействия в виде дельта- функции (t-), которая определяется следующим образом:
(3.1.4)
Определим основное свойство дельта- функции и ее связь с единичным ступенчатым воздействием. Допустим, что имеется некоторая функция g(t-) определяется выражением
(3.1.5)
Рис.3.1.3. Дельта- функция Рис.3.1.4. Функция g(t-)
Найдем производную от функции g(t-).
(3.1.6)
Очевидно, что графически эта производная представляет собой прямоугольный импульс (рис.3.1.5), амплитуда которого возрастает с уменьшением величины а ,а длительность уменьшается. Площадь этого прямоугольника постоянна и равна единице.
Рис.
3.1.5. График функции
Из выражений (3.1.5), (3.1.6) и рисунков 3.1.3, 3.1.4 и 3.1.5 следует, что в пределе при а0 функция g(t-) стремится к единичному ступенчатому воздействию, т.е.
,
а
предел функции
равен
бесконечности
Отсюда можно сделать следующие выводы:
(3.1.7)
В частном случае, когда =0 изображение дельта- функции равно
т.е.
(s)=1.
Отсюда следует, что изображение функции веса определяется выражением
(3.1.8)
Следовательно
(3.1.9)
Функция веса системы может быть определена так же, как и переходная функция, или путем дифференцирования переходной функции в соответствии с первой формулой выражений (3.1.7).
Переходная характеристика и импульсная переходная функция однозначно связаны между собой соотношениями
.
(3.1.10)
Уравнения (3.1.10) позволяют при одной известной характеристике определить вторую.
Пример. Найти переходную функцию и функцию веса системы, имеющей передаточную функцию
Изображение переходной функции будет
где
Используя таблицы преобразования Лапласа, по полученному изображению найдем оригинал переходной функции
Для
изображения функции веса можно записать
и по таблицам изображений Лапласа
получим
Аналогичный
результат получим дифференцированием
выражения для переходной функции.
Рис. 3.1.6. Переходная функция. Рис.3.1.7. Функция веса.
Импульсную переходную характеристику удобно использовать для определения реакции системы на некоторое воздействие f(t) произвольного вида
(3.1.11)
Естественно, что сигнал на выходе физически реализуемой системы не может появиться раньше входного сигнала, т.е. k(t)=0 при t<0. C точки зрения преобразования Лапласа это соответствует условию
(3.1.12)
Если
(3.1.13)
то условие (3.1.12) выполняется только при m< n. Это и есть выражение принципа физической реализуемости системы.