Дискретное преобразование Лапласа и частотные характеристики

Дискретным преобразованием Лапласа называют соотношение

,

ставящее решетчатой функции f[lT] в соответствие функцию комплексного переменного s. Функцию f[lT] называют оригиналом, a — изображением или D-изображением. Дискретное преобразование получается из z-преобразования при подстановке в него

.

Обратное дискретное преобразование Лапласа имеет вид

(12.1.33)

Передаточную функцию в дискретных преобразованиях Лапласа или в D-изображениях можно определить как дискретное преобразование Лапласа от весовой функции :

Она связана с передаточной функцией в z-изображениях соотношением

Частотной передаточной функцией (дискретной) называется функция, которая получается при подстановке в передаточную функцию в z-изображениях :

.

На основе этой функции точно так же, как и в случае непрерывных систем, определяются амплитудно-фазовые, амплитудные, фазовые и другие частотные функции и их характеристики.

Так как частотная передаточная функция является периодической функцией с периодом . Поэтому при построении частотных характеристик дискретных систем ограничиваются частотами из интервала или .

Дискретные частотные функции имеют такой же физический смысл, что и непрерывные: если на вход дискретной системы подается гармонический сигнал , то на ее выходе в установившемся режиме в дискретные моменты времени t = lT будем иметь . Амплитуда и фаза этого процесса соответственно равны модулю и аргументу частотной передаточной функции.

Связь между дискретным и непрерывным преобразованиями Лапласа и непрерывная модель дискретной системы

Между дискретным и непрерывным преобразованиями Лапласа существует связь, которая позволяет выразить частотную передаточную функцию разомкнутой дискретной системы через частотную передаточную функцию приведенной непрерывной части. Пользуясь соотношением, связывающим две указанные функции, можно получить непрерывную модель дискретной системы

Связь между дискретным и непрерывным преобразованиями Лапласа

Пусть функция f(t) непрерывна на интервале и . Тогда z-изображение F(s) = D{f[lT]} решетчатой функции f[lT], соответствующей непрерывной функции f(t), связано с изображением Лапласа F(s) = L{f(t)} функции f(t) соотношением (12.1.34)

Для получения этой формулы в обратном преобразовании Лапласа

интервал интегрирования разобьем на подынтервалы

и представим интеграл справа в виде суммы:

. Произведем замену переменных — и положим t = lT. Тогда

Отсюда, заменив переменную интегрирования s' на s и учитывая, что , находим

Поменяв порядок суммирования и интегрирования, последнее равенство можно представить в виде

Приравняв правую часть последнего равенства и правую часть (12.1.33), получим (12.1.34).

12.2 Уравнения элементов цифровой аср. Цифровой регулятор, идеальный импульсный элемент, формирующий фильтр, приведенная непрерывная часть Непрерывная модель дискретной системы

Пусть дискретная система состоит из дискретного элемента (ДЭ) и непрерывной части (НЧ) (рис. 12.2.1, а). Дискретный элемент вырабатывает прямоугольные импульсы с периодом Т, относительной длительностью и амплитудой А_И = 1. Тогда передаточная функция приведенной непрерывной части имеет вид

,

где W_H(s) — передаточная функция непрерывной части.

Рис. 12.2.1. Дискретная система (а) и ее непрерывная модель (б)

Учитывая, что W_п(s) есть изображение Лапласа весовой функции ПНЧ , а передаточная функция в z-изображениях разомкнутой дискретной системы — D-изображение , согласно формуле (12.1.34) имеем

.

Положив для частотной передаточной функции разомкнутой дискретной системы получаем

(12.2.1)

Как отмечалось выше, частотная передаточная функция является периодической функцией с периодом , и при построении частотных характеристик достаточно ограничиться интервалом . И если выполняется условие(12.2.2)

(12.2.2)

то в формуле (12.2.1) справа можно ограничиться одним слагаемым, соответствующим l= 0. Остальные члены при указанном условии не будут оказывать существенного влияния на частотную характеристику. Поэтому при условии (12.2.2) можем принять

,

и исходную дискретную систему можно представить непрерывной моделью (рис. 12.2.1, б). При малых

и передаточная функция разомкнутой системы непрерывной модели имеет вид или, когда относительная длительность ,

(12.2.3)

Таким образом, дискретизация по времени соответствует введению чистого запаздывания на полпериода. При малых Т наличие дискретного элемента не учитывают и принимают

(12.2.4)

Однако следует иметь в виду, что непрерывная модель, основанная на последнем соотношении, может приводить к неправильным выводам.

Например, когда непрерывная часть представляет собой апериодическое или колебательное звено, замкнутая система получается устойчивой при любом передаточном коэффициенте, если исходить из соотношения (12.2.4). Однако в действительности из-за того, что дискретный элемент вносит запаздывание, существует максимальное значение передаточного коэффициента, выше которого замкнутая система будет неустойчивой.