Методы построения фазовых портретов

Для построения фазовых портретов нелинейных систем используется ряд методов. Наибольшее распространение получили нижеследующие методы.

Интегрирование уравнений фазовых траекторий

В линейных системах интегрирование дифференциального уравнения фазовых траекторий (10.2.3) не представляет трудностей. Для нелинейных систем эта задача существенно усложняется. Аналитическое решение в большинстве случаев получить не удается, поэтому для построения фазовых портретов нелинейных систем применяют численное интегрирование уравнения (10.2.3). В ряде случаев предварительно проводят качественное исследование изучаемой системы. Благодаря использованию методов качественной теории дифференциальных уравнений определяют структуру фазовых портретов - число и тип возможных в данной системе состояний равновесия, количество предельных циклов и их взаиморасположение, наличие сепаратрис. Все это позволяет определить совокупность возможных в исследуемой системе режимов работы, и численное интегрирование уравнения фазовых траекторий выполнить для целого ряда начальных условий, которые являются наиболее важными с точки зрения выделения областей фазового портрета.

Метод изоклин

Метод изоклин имеет невысокую точность и используется для качественной оценки хода фазовых траекторий.

′

Изоклиной называется кривая, представляющая геометрическое место точек, в которых касательные ко всем интегральным кривым наклонены под одним и тем же углом к оси абсцисс. Методика построения фазового портрета методом изоклин складывается из следующих этапов:

1 Построение изоклин;

2 Нанесение направления касательных к фазовым траекториям;

3 Определение характера искомого фазового портрета.

П ри использовании метода изоклин считается известным система дифференциальных уравнений (10.2.2), описывающая исследуемую систему, для которой предстоит построить фазовый портрет. Следовательно, известно уравнение фазовых траекторий (10.2.3)

Д ля получения изоклин необходимо положить

т.е.

(10.2.4)

З адавая различные значения константы -(C) в (10.2.4), на фазовой плоскости строится семейство изоклин, на которых под углом γ=arctgC к оси абсцисс наносятся стрелки и по ним определяется характер фазового портрета системы. Допустим, что поле изоклин имеет вид, представленный на рис. 10.2.8. Начальное положение изображающей точки выбирается произвольно на изоклине C_{1 =}0. Из этой точки M₀ проводится два отрезка: один под углом γ₁=arctgC₁ , а другой под углом γ₂=arctgC₂ до пересечения их с соседней изоклиной C₂.

Точки пересечения отрезков с изоклиной обозначаются M’ M” соответственно.

За точку фазовой траектории принимается точка M₁ ,

Рисунок 10.2.8 - Построение фазового портрета методом изоклин

лежащая между ними. Повторяя построения таким же образом, но из точки M₁, т.е. проводя два отрезка до соседней изоклины под углом γ₂= arctgC₂ и γ₃ = arctgC₃ , находится точка M₂ и т.д. Точность фазового портрета зависит от числа изоклин, по которым он строится. Особым точкам на фазовой плоскости соответствуют точки пересечения нескольких изоклин, так как в них направление фазовых траекторий становится неопределенным.