11.2 Преобразование случайных сигналов линейным звеном. Идентификация динамических характеристик при случайных процессах Преобразование случайного сигнала линейным динамическим звеном

Исходные соотношения. При воздействии стационарного случайного сигнала на линейное устойчивое звено (или систему) на выходе звена возникает также стационарный случайный сигнал, который можно рассматривать как преобразованный входной сигнал. Преобразование входного сигнала проявляется в изменении его статистических характеристик — математического ожидания, дисперсии, корреляционной функции и спектральной плотности.

Если входное воздействие x(t) состоит из постоянной или достаточно медленно меняющейся составляющей и центрированоной случайной составляющей , т. е.

(11.2.1)

то и выходная реакция у (t) звена может быть представлена в виде суммы

(11.2.2)

Согласно принципу суперпозиции каждая из составляющих у(t) может быть определена отдельно: — как результат преобразования , а — как результат преобразования . Так, математические ожидания входа и выхода статического звена с передаточной функцией W(р) связаны между собой уравнением статики

(11.2.3)

Статистические характеристики переменной составляющей определяются более сложными соотношениями. Так как в дальнейшем рассматриваются законы преобразования только центрированных составляющих, то значок ° будем опускать.

Базовыми формулами для вывода законов преобразования случайных сигналов являются интеграл свертки

(11.2.4)

и Фурье—изображение весовой функции

(11.2.5)

Законы преобразования во временной области. Пусть входной сигнал х(t) задан своей корреляционной функцией (рис. 11.2.1, а). Найдем корреляционные функции и .Взаимная корреляционная функция сигналов х (t) и у (t)

(11.2.6)

Рис. 11.2.1. Преобразование характеристик случайного сигнала линейным звеном:а — во временной области; б — в частотной области; в — с формирующим фильтром

Если вместо в выражение (11.2.6) подставить интеграл (11.2.4), записанный для времени , и выполнить вначале интегрирование произведения по переменной t в пределах от 0 до T, то в правой части (11.2.6) образуется корреляционная функция (11.1.12) входного сигнала с аргументом, равным разности формула (11.2.6) примет вид

(11.2.7)

Интегральное соотношение (11.2.7), называемое уравнением Винера-Хопфа, имеет такой же вид, как интеграл свертки (11.2.4), поэтому функцию можно рассматривать как реакцию звена на воздействие, имеющее форму функции .

Если в корреляционную функцию выходного сигнала у(t), равную

(11.2.8)

дважды подставить вместо у (t) и интеграл свертки (11.2.4) с переменными интегрирования соответственно и выполнить интегрирование произведения по t в пределах от 0 до Т, то в правой части (11.2.8) образуется корреляционная функция входного сигнала с аргументом, равным выражение (11.2.8) примет вид

(11.2.9)

В частном случае, когда на входе звена действует белый шум с корреляционной функцией , выражение (11.2.9) с учетом «выхватывающего» свойства дельта-функции может быть упрощено:

(11.2.10)

Подставляя теперь в (11.2.10) , получим формулу для дисперсии выходного сигнала:

(11.2.11)

которая показывает, что для вычисления дисперсии выходного сигнала при действии на входе звена белого шума достаточно проинтегрировать по времени квадрат весовой функции звена.

Формулу (11.2.11) можно использовать для вычисления дисперсии и в тех случаях, когда входной сигнал отличен от белого шума. Для этого необходимо в (11.2.11) подставить весовую функцию не самого рассматриваемого звена , а функцию эквивалентного звена, которое представляет собой последовательное соединение исследуемого звена и формирующего фильтра.

Законы преобразования в частотной области. В практических расчетах удобней пользоваться соотношениями между спектральными характеристиками входа и выхода (рис. 11.2.1, б). Пусть известна спектральная плотность . Выразим через нее спектральные плотности и

Взаимная спектральная плотность сигналов х(t) и у(t) согласно определению (11.1.28)

(11.2.12)

Если вместо подставить интеграл Винера-Хопфа (11.2.7), то после некоторых несложных искусственных преобразований подынтегральных сомножителей и использования формул (11.1.21) и (11.2.5) выражение (11.2.12) примет вид

(11.2.13)

Равенство (8.52), разрешенное относительно а. ф. х. , используют для определения характеристик объектов управления по экспериментальным реализациям сигналов х (t) и у (t). Для этого сначала вычисляют корреляционные функции и , а затем переходят к спектральным плотностям и , которые подставляют в (11.2.13).

Спектральная плотность выходного сигнала согласно (11.1.21)

(11.2.14)

Если вместо подставить в (11.2.14) двойной интеграл (11.2.9) и представить образованное выражение с тремя интегралами как произведение интеграла вида (11.1.21) и двух интегралов вида (11.2.5) с переменными интегрирования соответственно , то получим одну из важнейших формул статистической динамики:

(11.2.15)

или

(11.2.16)

Соотношение (11.2.16) показывает, что спектральная плотность выходного сигнала равна спектральной плотности входного сигнала, умноженной на квадрат амплитудной частотной характеристики звена (системы).

Формулу (11.2.16) можно получить также, исходя из чисто физических представлений: а. ч. х. при каждом значении аргумента определяет отношение амплитуд гармоник входного и выходного сигнала, а спектральные плотности и при фиксированном значении равны квадратам относительных амплитуд гармоник.

Если равенство (11.2.16) объединить с формулой (11.1.20), записанной для сигнала у(t), то получим еще одну важную для практических расчетов формулу:

(11.2.17)

по которой вычисляют дисперсию сигналов на выходе систем управления.

На соотношении (11.2.16) основаны понятие и метод формирующего фильтра. Формирующим фильтром называют динамическое звено, которое преобразует входной сигнал в виде белого шума в выходной сигнал с заданными статистическими характеристиками.

Пусть на входе формирующего фильтра ФФ (рис. 11.2.1, в) действует белый шум с единичной интенсивностью S₀=1 при всех значениях . Тогда спектральная плотность сигнала х(t) на выходе ФФ согласно (11.2.16)

(11.2.18)

Следовательно, для получения на выходе ФФ случайного сигнала с желаемой функцией необходимо частотную функцию фильтра выбрать в соответствии с равенством (11.2.18), т. е. квадрат а. ч. х. ФФ должен быть равен спектральной плотности сигнала, формируемого из белого шума.

Для нахождения функции заданную спектральную плотность представляют в виде произведения двух комплексно-сопряженных сомножителей и . Из них выбирают тот, который имеет нули и полюса в верхней полуплоскости , т. е. тот, который соответствует устойчивому, физически реализуемому звену. Например, для получения на выходе ФФ случайного сигнала со спектральной плотностью (11.1.37)

(11.2.19)

реализуемым является первый сомножитель

(11.2.20)

Формирующий фильтр (11.2.20) представляет собой инерционное звено первого порядка (см. 3.3) с параметрами:

(11.2.21)

Последовательное соединение ФФ и исследуемого звена ИЗ называют эквивалентным звеном. Его а. ф. х.

(11.2.22)

Метод формирующего фильтра заключается в том, что при статистическом анализе систем управления перед исследуемым звеном (или системой) включают ФФ с а. ф. х., соответствующей спектральным свойствам реального входного сигнала х (t), а характе­ристики выходного сигнала у(t) определяют при подаче на вход эквивалентного звена (или системы) белого шума. Такой переход от исследования реального звена к исследованию эквивалентного в ряде случаев упрощает математические выкладки и задачу анализа. Например, для определения дисперсии выходного сигнала исследуемого звена достаточно получить (аналитически или экспериментально) весовую функцию эквивалентного звена и согласно (11.2.11) проинтегрировать ее квадрат:

(11.2.23)

Эту же дисперсию можно получить интегрированием в частотной области, подставляя в (11.2.17) :

(11.2.24)

Приравнивая правые части формул (11.2.23) и (11.2.24), можно получить частный случай равенства Парсеваля.

Пример. Вычислим дисперсию на выходе инерционного звена первого порядка с передаточной функцией W (р) = k/(Tp + 1) при действии на его входе белого шума с интенсивностью и шириной спектра .

Решим задачу интегрированием в частотной области — при помощи формулы (11.2.17). Дисперсия выходного сигнала у

(11.2.25)

Дисперсия тем меньше, чем меньше интенсивность входного сигнала и чем больше постоянная времени Т.