9. Всесторонняя деформация сжатия

(ИЛИ РАСТЯЖЕНИЯ) ТВЕРДЫХ ТЕЛ

9.1. Закон Гука для всесторонней деформации

В

F_n

сесторонняя деформация возникает, когда нагрузка, действующая на тело, равномерно распределена по всей его поверхности.

Отношение силы F_n к площади грани является характеристикой механического напряжения 

. (9.1)

Если тело объемом V₀ под действием усилия  на все грани деформировалось и приобрело новый объем V, то абсолютная объемная деформация равна

, (9.2)

а относительная объемная деформация _V

. (9.3)

Закон Гука для всесторонней деформации сжатия (или растяжения) имеет вид

, (9.4)

где Н – модуль всестороннего сжатия (или растяжения).

- называется коэффициентом всестороннего сжатия (или растяжения).

Коэффициент всестороннего сжатия (или растяжения) вычисляют в общем виде как

. (9.5)

Для малой сжимаемости твердых тел

. (9.6)

В первом приближении из (9.7) имеем

. (9.7)

Потенциальная энергия тела при упругой всесторонней деформации равна

, (9.8)

а плотность энергии . (9.9)

9.2. Закон Гука для деформации вдоль одной стороны

при всестороннем сжатии

Всестороннее сжатие (или растяжение) можно рассматривать как результат сложения трех линейных деформаций сжатия (или растяжения) вдоль осей x, y, z.

Пусть к телу, имеющему форму прямоугольного параллелепипеда объемом со сторонамиприложены произвольные усилия.

Каждое из них вызывает соответствующие относительные деформации

. (9.10)

По закону Гука для линейной деформации без учета деформаций вдоль других сторон имеем

. (9.11)

Учитывая, что сжатие вдоль одного направления приводит к растяжению вдоль двух других сторон, можно записать

, (9.12)

, (9.13)

. (9.14)

При всестороннем равномерном сжатии

. (9.15)

Тогда, например, вдоль направления оси х из (9.12) следует

. (9.16)

Для изотропных тел . (9.17)

Следовательно, при всестороннем сжатии закон Гука при деформации вдоль одной стороны с учетом деформации вдоль двух других сторон будет иметь вид

, (9.18)

в то время как при чисто односторонней деформации .

9.3. Связь между модулем всестороннего сжатия и

модулем упругости

Пусть деформации подвергается тело, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда, у которого длины ребер равны , а объем

. (9.19)

Под действием приложенных усилий объем изменится на величину

. (9.20)

Разделив обе части равенства (9.20) на (9.19), получим

. (9.21)

Т.к. ,

получим . (9.22)

Для изотропного тела , поэтому, например, для_х и _V имеем

,

т.е. относительная объемная деформация в три раза превосходит относительную линейную деформацию.

Пусть усилия, приложенные к граням, одинаковы

. (9.23)

Поскольку по закону Гука при сжатии вдоль одной стороны две другие испытывают деформацию растяжения (9.16), то подставляя (9.16) в (9.23), получим , (9.24)

откуда . (9.25)

Сравнивая (9.25) с законом Гука для всесторонней деформации (9.4), получим связь между модулем всестороннего сжатия Н, модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона :

. (9.26)