5.4. Индицирование направления

а) Направление проходит через начальный узел [[0 0 0]] и узел М [[m n p]]. В этом случае (рис. слева)

m: n: p: = ОА/а: OB/b: ОС/с. (5.2)

Из этих соотношений находим числа m, п, р. Символ направления берется в одинарные квадратные скобки [m n p ]. Например, для направлений: [0 0 1],[0 1],[0 0], [0 1 2] (рис. 5.1.б).

б) Направление , проходящее через две любые точки M₁ [[m₁ n₁ p₁]] и M₂ [[m₂ n₂ p₂]]. имеет символ[m n p].

Числа m, n, p находим из соотношения

m: п :р: = (m₂ - m₁): (n₂ - n₁): (p₂ - p₁), (5.3)

т.к. и.

в) Индицирование нормали к плоскости, в которой лежат два каких-либо направления. Пусть нормаль вектораиимеют символы[m n p]; .[m₁ n₁ p₁]; [m₂ n₂ p₂].

Тогда ,

.

Нормаль находим по правилу векторного умножения двух векторов:

.

Так как

,

то .

Поскольку

то ,

, (5.5)

n = m₁ p₂ - m₂p₁.

5.5. Индицирование плоскостей (hkl)

а) Закон рациональных отношений - Гаюи:

Двойные отношения параметров, отсекаемых двумя любыми гранями кристалла на трех пересекающихся его ребрах, равны отношениям целых чисел

ОА₂/ОА₁:ОВ₂/ОВ₁:ОС₂/ОС₁=р:q:r. (5.6)

б) Индицирование граней.

Возьмем обратные отношения (5.6)

ОА₁/ОА₂: ОВ₁/ОВ₂: ОС₁/ОС₂ = 1/р : 1/q : 1/r = h : k : l, (5.7)

где h, k, l  целые числа, индексы плоскости (грани). Выражение 1/р : 1/q : 1/r приводим к наибольшему общему делителю. Отбрасывая знаменатель, получаем три числа h:k: l. Числа h, k, l называются индексами граней или индексами Миллера. Символ грани берется в круглые скобки (h k l).

Примеры: а) проиндицируем плоскость А₂В₂С₂ из предыдущего рисунка (пункт а)

Следовательно символ грани А₂В₂С₂ имеет вид (121).

б) примеры индицирования плоскостей для кубических кристаллов приведены на рисунке.

Семейство параллельных плоскостей описывается одинаковыми индексами.

Семейство параллельных плоскостей (граней) записывают в виде символа {hkl}.

5.6. Индицирование гексагональных кристаллов (граней)

Условие однотипности символов не выполняется при индицировании граней гексагональной призмы, которая имеет своим основанием правильный шестиугольник, с помощью трехосной координатной системы.

Это несоответствие устраняется путем введения еще одной оси u, которая лежит в горизонтальной плоскости и располагается на биссектрисе между осями х и у. В этом случае вдоль оси u вводится новый индекс i (установка Бравэ).

Для гексагональных кристаллов символ грани имеет вид (hkil).

Символы боковых граней гексагональных кристаллов, к примеру, представляются в виде (1100), (1010), (0110), а символ верхней грани (0001).

Символ грани, проходящей через начало координат и лежащей в плоскости в которой находятся оси х, у, u обозначается (0000).

Связь между четырехосными индексами имеет вид

h + k + i = 0. (5.12)

5.7. Термины в кристаллографии

монос – один, моноэдр - одногранник,

ди – два, диэдр - 2-х гранник,

три – три, триэдр - 3-х гранник,

тетра – четыре, тетраэдр - 4-х гранник,

пента – пять, пентаэдр - 5 гранник,

гекса – шесть, гексаэдр - 6 гранник,

окта – восемь, октаэдр - 8 гранник,

додека – двенадцать, додекаэдр - 12 гранник,

икоса – двадцать, икосаэдр -20 гранник,

поли – много, полиэдр - мкогогранник

гонос (гон) – угол, тетрагон – четырехугольник,

тригон – треугольник, пентагон – пятиугольник.

гексагон – шестиугольник,