8.4. Сдвиг. Упругая деформация сдвига

Рассмотрим деформацию однородного твердого тела в виде прямоугольного параллелепипеда со сторонами а, в, с и приложим к противоположным основаниям пару сил F_ (рис. 8.3).

Сила, направленная по касательной к площади грани, называетсятангенциальной.

В результате тело деформируется, а, например, грань СС₁D₁D смещается в новое положение С₂С₃D₃D₂; при этом сторона АС длиной b отклоняется в новое положение АС₂ на угол .

Рис. 8.3.

Величина х = СС₂ - называется абсолютной сдвиговой деформацией.

Из треугольника АСС₂ находим относительную сдвиговую деформацию - . При малых углах 

. (8.14)

При равномерном распределении силы F_ по всей поверхности грани в любом сечении, параллельном ей, возникает тангенциональное напряжение

. (8.15)

Закон Гука для упругой деформации сдвига имеет вид

, (8.16)

где G – модуль сдвига.

Потенциальная энергия и плотность энергии упруго деформированного тела при сдвиге имеют вид соответственно

, (8.17) . (8.18)

8.5. Взаимосвязь между деформациями растяжения (сжатия) и сдвига

Вид напряжения, при котором по граням выделенного из материала элемента возникают только касательные напряжения, называется чистым сдвигом.

Чистый сдвиг эквивалентен комбинации двух равных по величине главных напряжений (₁ и ₂): одного растягивающего ₁ и другого сжимающего ₂ вдоль диагоналей АD и СВ соответственно (рис. 8.4 а).

Рис. 8.4.а, б.

Напряжения ₁ и ₂ направлены под углом 45 к тангенциальным напряжениям  (рис. 8.4 б).

Таким образом, деформация сдвига сопровождается деформацией растяжения (сжатия), а деформация растяжения (сжатия) деформацией сдвига.

При этом ₁ = ; ₂ = - (8.19)

Рассмотрим деформацию при чистом сдвиге на примере стороны куба под действием пары усилий и -

Рис. 8.5.

При сдвиговой деформации диагональ куба l₀ испытывает деформацию растяжения под действием растягивающих усилий ₁ и -₁ (рис. 8.5).

Новая длина l изменяется на величину l = l - l₀.

Из треугольника АDС , а из треугольникаDD₁D₂ l = х сos45 (при малых деформациях).

Относительное удлинение диагонали АD равно

.

Поскольку , асогласно формуле (8.14), то связь между относительной линейной деформацией и относительной сдвиговой деформацией  будет иметь вид

. (8.20)

По закону Гука с учетом поперечных деформаций имеем

. (8.21)

С учетом (8.19) получим

. (8.22)

Подставляя (8.22) в (8.20), получим

,

откуда . (8.23)

Сравнивая выражение (8.23) с законом Гука для сдвиговой упругой деформации , получим связь между модулями сдвигаG, упругости Е и коэффициентом Пуассона

. (8.24)

В таблице приведены опытные значения Е, G и  для некоторых веществ:

Вещество	Е, Н/м2	G, Н/м2	
Al	71010	2,51010	0,34
Cu	111010	4,41010	0,34
Pb	1,61010	0,61010	0,44
Pt	171010	6,31010	0,39
Bi	3,21010	1,21010	0,33
W	391010	15,01010	-
Ni	211010	7,81010	0,30
Сталь	221010	8,01010	0,28
Бронза	121010	4,41010	0,38
Кварц	5,41010	3,01010	-