Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

"ᮢ६¥­­ë¬". ¬¥â¨¬ â ª¦¥, çâ® ¢ ¨­¦¥­¥à­ãî ¯à ªâ¨- ªã ¢á¥ £«ã¡¦¥ ¯à®­¨ª îâ ¬¥â®¤ë, ª®â®àë¥ à ­¥¥ ª § «¨áì 㤥«®¬ ª« áá¨ç¥áª®© ¬ ⥬ ⨪¨ ¨ ¬¥å ­¨ª¨. ®í⮬ã á«¥- ¤ã¥â £®¢®à¨âì ­¥ ®¡ «ìâ¥à­ ⨢­ëå, ® ¤®¯®«­ïîé¨å ¤à㣠¤à㣠¯®¤å®¤ å. ®¤­¨å á«ãç ïå ¡®«¥¥ 㤮¡­ë¬ ï¥âáï ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥ ¯¥à¥¤ â®ç­ëå ä㭪権, ¢ ¤à㣨å { ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï, ¢® ¬­®£¨å á«ãç ïå ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ®¡®¨å ¯®¤å®¤®¢ à ¢­®æ¥­­®.

á­®¢­ ï ç áâì ª­¨£¨ (£« ¢ë 1 { 11) ᮤ¥à¦¨â ¤®áâ â®ç- ­® ¯®«­®¥ ¢¢¥¤¥­¨¥ ¢ ¬¥â®¤ ¯à®áâà ­á⢠á®áâ®ï­¨©, ¢ ¥£® ®á­®¢­ë¥ ¯®­ïâ¨ï, ¨¤¥¨ ¨ १ã«ìâ âë. ।¯®« £ ¥âáï, çâ® ¯®á«¥ §­ ª®¬á⢠á í⮩ ç áâìî ç¨â ⥫ì ᬮ¦¥â ¯®­¨¬ âì ï§ëª ­ ãç­ëå áâ ⥩ ¨ ¬®­®£à 䨩, ¢ ª®â®àëå ¤ ­­ë© ¬¥â®¤ è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ã¥âáï. «ï ¡®«¥¥ ¯®«­®£® ¨§ã祭¨ï ¢ ᮮ⢥â- áâ¢ãîé¨å ¬¥áâ å ⥪áâ ¤ ­ë ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ 㪠§ ­¨ï.®¤à®¡­¥¥ ® ᮤ¥à¦ ­¨¨ ª­¨£¨ ¬®¦­® 㧭 âì ¨§ ®£« ¢«¥­¨ï.

®¤¥а¦ ­¨¥ ®б­®¢­®© з бв¨ ª­¨£¨ б®®в¢¥вбв¢г¥в гз¥¡­л¬ ¯« ­ ¬ ªгаб®¢ в¥®а¨¨ ¢в®¬ в¨з¥бª®£® г¯а ¢«¥­¨п ¯а¨ ¯®¤- £®в®¢ª¥ ¨­¦¥­¥а®¢ ¢ ®¡« бв¨ ¢в®¬ в¨§ ж¨¨ ¨ г¯а ¢«¥­¨п.¤¥бм в¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥ ®вбгвбв¢гов в ª¨¥ ¢ ¦­л¥ а §¤¥«л, ª ª

¨áá«¥¤®¢ ­¨¥ ãá⮩稢®á⨠«¨­¥©­ëå á¨á⥬ ­ ®á­®¢¥ «- £¥¡à ¨ç¥áª¨å ¨ ç áâ®â­ëå ªà¨â¥à¨¥¢, ¡®«¥¥ ⮣® { ¯®­ï⨥ ãá⮩稢®á⨠áç¨â ¥âáï §­ ª®¬ë¬ ç¨â ⥫î (å®âï ¡ë ­ ¨­- âã¨â¨¢­®¬ ã஢­¥), ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ãá⮩稢®á⨠¤ ­ë 㦥 ¢ á¢ï§¨ á ¬¥â®¤®¬ ä㭪権 ï¯ã­®¢ ¯à¨ à áᬮâ७¨¨ ­¥«¨- ­¥©­ëå á¨á⥬. ¥â ¬¥â®¤®¢ ­ «¨§ â®ç­®á⨠á¨á⥬ à¥-

£ã«¨à®¢ ­¨ï ¨ ¬¥â®¤®¢ ᨭ⥧ ª®à४â¨àãîé¨å §¢¥­ì¥¢ ­ ®á­®¢¥ ç áâ®â­ëå å à ªâ¥à¨á⨪. ¥¤®áâ ⮪ ¬¥áâ ­¥ ¯®§¢®- «¨« à áᬮâà¥âì ®¯¨á ­¨¥ ¬­®£®á¢ï§­ëå ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å á¨- á⥬ ãà ¢­¥­¨ï¬¨ ¢å®¤-¢ë室. ® ⮩ ¦¥ ¯à¨ç¨­¥ ª­¨£ á®- ¤¥à¦¨â ᢥ¤¥­¨ï ⮫쪮 ® ¤¥â¥à¬¨­¨à®¢ ­­ëå á¨á⥬ å.

®®¡é¥ £®¢®àï, ª­¨£ ¯®á¢ï饭 ­¥ ⮫쪮 á¨á⥬ ¬ ¢- ⮬ â¨ç¥áª®£® ã¯à ¢«¥­¨ï, ­® ¨ ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¬ á¨á⥬ ¬ ¢®- ®¡é¥, ¡¥§®â­®á¨â¥«ì­® ª ⮬ã, ¨¬¥¥âáï ¢ ­¨å ®¡à â­ ï á¢ï§ì ¨«¨ ­¥â. ®«ì讥 ¢­¨¬ ­¨¥ 㤥«ï¥âáï ᯮᮡ ¬ ¯à¥®¡à §®- ¢ ­¨ï ¬®¤¥«¥©, â ª¦¥ ¬¥â®¤ ¬ ⥮ਨ ®æ¥­¨¢ ­¨ï ¨ ¬®¤ «ì- ­®£® ã¯à ¢«¥­¨ï { í⨠¢ ¦­ë¥ à §¤¥«ë ⥮ਨ ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å á¨á⥬ ­¥¤®áâ â®ç­® ¯®«­® ®á¢¥é¥­ë ¢ ¤®áâ㯭®© ã祡­®© «¨â¥à âãà¥. ­ «¨§ ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬ ᮤ¥à¦¨â âà ¤¨æ¨- ®­­ë¥ à §¤¥«ë, ®â­®áï騥áï ª ¬¥â®¤ ¬ £ ମ­¨ç¥áª®© «¨­¥-

12

ਧ 樨 ¨ ¡á®«îâ­®© ãá⮩稢®áâ¨, ¨ à áè¨à¥­ ¢ ­ ¯à - ¢«¥­¨¨ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ᪮«ì§ïé¨å ०¨¬®¢.

®á«¥¤­ïï ç áâì (£« ¢ë 12, 13) ®â­®á¨âáï ª "¯¥à¥¤­¥¬ã ªà î" ­ 㪨 { ¬¥â®¤ ¬ ­¥«¨­¥©­®£® ¨ ¤ ¯â¨¢­®£® ã¯à ¢«¥- ­¨ï, ¨­â¥­á¨¢­® à §¢¨¢ ¢è¨¬áï ¢ 90-å £®¤ å. â®â ¬ â¥à¨ « ¨§«®¦¥­ ¡®«¥¥ äà £¬¥­â à­®, ­ ¥£® ®â¡®à ¢«¨ï«¨ ­ ãç­ë¥ ¨­â¥à¥áë ¢â®à®¢. á­®¢­®¥ ¢­¨¬ ­¨¥ 㤥«ï¥âáï ¬¥â®¤ ¬ ¤ ¯â¨¢­®£® ã¯à ¢«¥­¨ï á ­¥ï¢­®© íâ «®­­®© ¬®¤¥«ìî ¨ ¬¥- ⮤ã èã­â¨à®¢ ­¨ï, â ª¦¥ § ¤ ç ¬ ¨ ¬¥â®¤ ¬ ã¯à ¢«¥­¨ï ª®«¥¡ ⥫ì­ë¬¨ (¢ ⮬ ç¨á«¥ { å ®â¨ç¥áª¨¬¨) ¯à®æ¥áá ¬¨. ­ áâ®ï饥 ¢à¥¬ï 㪠§ ­­ë¥ ¢®¯à®áë á« ¡® ®á¢¥é¥­ë ­¥ ⮫ì- ª® ¢ ã祡­¨ª å ¨ ¬®­®£à ä¨ïå, ­® ¨ ¢ ¦ãà­ «ì­ëå áâ âìïå. â® ¦¥ ¢à¥¬ï ªâã «ì­®áâì ¯¥à¥ç¨á«¥­­ëå § ¤ ç à áâ¥â. ­¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¨ ⥮à¥â¨ç¥áª¨© ¨­â¥à¥á, ¯®áª®«ìªã á¢ï§ ­ë á ¨áá«¥¤®¢ ­¨¥¬ ç áâ¨ç­®© ãá⮩稢®á⨠¨ ç áâ¨ç­®© áâ - ¡¨«¨§ 樨 ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬ { ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬, ª®â®à®¥, ¯®- ¢¨¤¨¬®¬ã, ¡ã¤¥â ¨£à âì ¢ ¦­ãî à®«ì ¢ à §¢¨â¨¨ ⥮ਨ ¢- ⮬ â¨ç¥áª®£® ã¯à ¢«¥­¨ï ¢ ­ ç «¥ XXI ¢¥ª .

«ï ¡®«¥¥ £«ã¡®ª®£® ¨§ã祭¨ï ⥮ਨ ­¥«¨­¥©­®£® ¨ ¤ - ¯â¨¢­®£® ã¯à ¢«¥­¨ï ¬®¦­® ४®¬¥­¤®¢ âì ª­¨£ã . . ¨-

à®è­¨ª , . . ¨ª¨ä®à®¢ , . . à ¤ª®¢ " ¥«¨­¥©­®¥ ¨ ¤ ¯â¨¢­®¥ ã¯à ¢«¥­¨¥ á«®¦­ë¬¨ ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¬¨ á¨á⥬ - ¬¨" [64], ¢ë室ïéãî ®¤­®¢à¥¬¥­­® ¢ ⮩ ¦¥ á¥à¨¨.

­¨£ á­ ¡¦¥­ § ¤ ç ¬¨ ¨ ã¯à ¦­¥­¨ï¬¨. ਠ¯®¤¡®à¥ ã¯à ¦­¥­¨© ¢â®àë ¯®«ì§®¢ «¨áì å®à®è® ¨§¢¥áâ­ë¬¨ ¨ ¯à®- 襤訬¨ ¨á¯ëâ ­¨¥ ¢à¥¬¥­¥¬ ª­¨£ ¬¨ . . ­¤à¥¥¢ [3],

§¢¨â¨¥ ¢ëç¨á«¨â¥«ì­®© â¥å­¨ª¨ ¯à¥¤®¯à¥¤¥«¨«® ­¥ ⮫ì- ª® «¨æ® ⥮ਨ ã¯à ¢«¥­¨ï, ­® ¨ ¬¥â®¤ë ¥¥ ¯à¥¯®¤ ¢ ­¨ï.ª®­æ¥ XX ¢¥ª ­¥¢®§¬®¦­® ¨§ãç âì ⥮à¨î, ­¥ ¯®«ì§ãïáì ¯à®£à ¬¬­ë¬¨ ¯ ª¥â ¬¨ ¨ á। ¬¨. ¨¡®«ì襥 à á¯à®- áâà ­¥­¨¥ ¢ ¯¥à¥¤®¢ëå ¢ëáè¨å ã祡­ëå § ¢¥¤¥­¨ïå ­ è« ã¤®¡­ ï ¨ ã­¨¢¥àá «ì­ ï á¨á⥬ MATLABR, à §à ¡®â ­- ­ ï ¨ ª®¬¬¥àç¥áª¨ à á¯à®áâà ­ï¥¬ ï ä¨à¬®© The MathWorks Com., . ®í⮬㠨§«®¦¥­¨¥ ¢ ¤ ­­®© ª­¨£¥ ®à¨¥­â¨- ஢ ­® ­ á¨á⥬ â¨ç¥áª®¥ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥ á¨á⥬ë MATLAB ¤«ï à¥è¥­¨ï § ¤ ç ­ «¨§ ¨ ᨭ⥧ . ¥ª®â®àë¥ ¢á¯®¬®£ - ⥫ì­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï ® á¨á⥬¥ MATLAB ¯®¬¥é¥­ë ¢ ਫ®¦¥- ­¨¨ C. ®¯®«­¨â¥«ì­ãî ¨­ä®à¬ æ¨î ¬®¦­® ­ ©â¨ ¢ ª­¨£ å

13

[10, 32, 81, 82], â ª¦¥ ­ á ©â¥ ä¨à¬ë The MathWorks Com.

(www.mathworks.com).

¨â â¥«ï ­ ¢¥à­ïª § ¨­â¥à¥áã¥â ¯®å®¦ ï ­ MATLAB, ­® ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ¤ ­­®© á¨á⥬ë ᢮¡®¤­® à á¯à®áâà ­ï¥- ¬ ï á¨á⥬ ScilabR, à §à ¡®â ­­ ï ¢® à ­æ¨¨ ¢ ¨­áâ¨âã⥠INRIA (www-rocq.inria.fr/scilab). à ⪨¥ ᢥ¤¥­¨ï ® á¨áâ¥- ¬¥ ScilabR ¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ ਫ®¦¥­¨¨ D.

­¨£ ¬®¦¥â ¨á¯®«ì§®¢ âìáï ¢ ª ç¥á⢥ ã祡­®£® ¯®á®¡¨ï ¯à¥¯®¤ ¢ ⥫ﬨ, áâ㤥­â ¬¨ ¨ á¯¨à ­â ¬¨ ¯® á¯¥æ¨ «ì­®-

áâï¬, á¢ï§ ­­ë¬ á ¢â®¬ ⨧ 樥© ¨ ã¯à ¢«¥­¨¥¬ â ª¦¥ á¯¥æ¨ «¨áâ ¬¨, ¨­â¥à¥áãî騬¨áï ¯à¨«®¦¥­¨ï¬¨ ⥮ਨ ¤¨- ­ ¬¨ç¥áª¨å á¨á⥬.

¢â®àë ᮧ­ îâ ­ «¨ç¨¥ ­¥¤®áâ ⪮¢ ¢ à ¡®â¥ ¨ á ¡« - £®¤ à­®áâìî ¯à¨¬ãâ «î¡ãî ªà¨â¨ªã, ¢ ⮬ ç¨á«¥ ¨ á ¬ãî ª®­áâàãªâ¨¢­ãî { ­ ¯¨á ­¨¥ ¤à㣮© ª­¨£¨ ¯®¤®¡­®£® த .¬¥ç¥­­ë¥ ®¯¥ç ⪨ ¨ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë© ¬ â¥à¨ « ¯® ⥬¥ ª­¨£¨ ¡ã¤¥â ¯®¬¥é âìáï ¢ ­â¥à­¥â ­ áâà ­¨æ¥ « ¡®à - â®à¨¨ " ¯à ¢«¥­¨¥ á«®¦­ë¬¨ á¨á⥬ ¬¨" (www.ipme.ru/ipme/labs/ccs/ccs.html). ¬ ¬®¦­® ­ ©â¨

¨ ¤à㣨¥ ¯®«¥§­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï ® ¯ã¡«¨ª æ¨ïå, ª®­ä¥à¥­æ¨ïå,

¯à®£à ¬¬­ëå ¯à®¤ãªâ å, â ª¦¥ áá뫪¨ ­ ¤à㣨¥ ¨áâ®ç- ­¨ª¨ ¨­ä®à¬ 樨 ¯® ⥮ਨ ¢â®¬ â¨ç¥áª®£® ã¯à ¢«¥­¨ï ¨ ᬥ¦­ë¬ ¢®¯à®á ¬.

§¤ ­¨¥ ª­¨£¨ ¡ë«® ¯®¤¤¥à¦ ­® " ­â¥£à æ¨ï", ¯à®- ¥ªâ 360-01. ï¤ à¥§ã«ìâ ⮢, ¯®¬¥é¥­­ëå ¢ ­¥¥, ¡ë« ¯®«ã祭 ¢ ¯à®æ¥áᥠᮢ¬¥áâ­®© à ¡®âë ¢â®à®¢ ¯® £à ­â ¬ (96-

01-01151, 99-01-0672) ¨ " ­â¥£à æ¨ï" (¯à®¥ªâë 2.1-589,0145, 0151) ¢ ­áâ¨âã⥠¯à®¡«¥¬ ¬ 設®¢¥¤¥­¨ï .

¢в®ал ¯®«м§говбп б«гз ¥¬ ¯®¡« £®¤ а¨вм ¢б¥е, ¯®¬®- £ ¢и¨е ¨¬ ¢ а ¡®в¥ ­ ¤ ª­¨£®©, в ª¦¥ ¢ла §¨вм ¯а¨§­ - в¥«м­®бвм а¥ж¥­§¥­в ¬ . . ¥¬«пª®¢г ¨ . . «ли¥¢г § ¯®«¥§­л¥ ¨ ¤®¡а®¦¥« в¥«м­л¥ § ¬¥з ­¨п.

¢â®àë ¯®á¢ïé îâ ª­¨£ã ¯ ¬ï⨠¡¥§¢à¥¬¥­­® ã襤襣®. . ¥à¢®§¢ ­áª®£® { ¡«¥áâï饣® ã祭®£® ¨ ¯¥¤ £®£ , 祩 äã­¤ ¬¥­â «ì­ë© " ãàá ⥮ਨ ¢â®¬ â¨ç¥áª®£® ã¯à ¢«¥- ­¨ï" [76] ¡ë« ¨ ®áâ ¥âáï ­¥¤®áï£ ¥¬ë¬ ¯à¨¬¥à®¬ ¤«ï ¯®¤à - ¦ ­¨ï.

®à¨á ­¤à¨¥¢áª¨©, «¥ªá ­¤à à ¤ª®¢­ªâ- ¥â¥à¡ãà£, ¤¥ª ¡àì 1999 £.

14

1. .

1.1.¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ ¨ áâ â¨ç¥áª¨¥ á¨á⥬ë. ®­ï⨥ á®áâ®ï­¨ï ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å á¨á⥬

î¡ ï á¨á⥬ , ¢ ⮬ ç¨á«¥ ¨ á¨á⥬ ã¯à ¢«¥­¨ï, á®áâ®- ¨â ¨§ ᮢ®ªã¯­®á⨠¯®¤á¨á⥬ (§¢¥­ì¥¢). ¢¥­ìï ¬®£ãâ à §- «¨ç âìáï ¯® å à ªâ¥àã ॠªæ¨© ­ ¢å®¤­®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥. í⮩ â®çª¨ §à¥­¨ï ¢á¥ §¢¥­ìï ¬®£ãâ ¡ëâì à §¤¥«¥­ë ­ áâ -

â¨ç¥áª¨¥ (¡¥§ë­¥à樮­­ë¥) ¨ ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ (¨­¥à樮­­ë¥) .áᬮâਬ ®â«¨ç¨â¥«ì­ë¥ ®á®¡¥­­®á⨠¢ ¯®¢¥¤¥­¨¨ ¨ ¬ â¥-

¬â¨ç¥áª®¬ ®¯¨á ­¨¨ á¨á⥬ ®¤­®£® ¨ ¤à㣮£® ⨯®¢.

â â¨ç¥áª¨¥ á¨á⥬ë 1 ®¡« ¤ îâ ¬£­®¢¥­­®© ॠªæ¨¥© ­

¢å®¤­®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥. ®«¥¥ áãé¥á⢥­­ë¬ ᢮©á⢮¬ â ª¨å á¨á⥬ ï¥âáï â®, çâ® ¨å ॠªæ¨ï ­ ¢å®¤­®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥ ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¯à¥¤ëáâ®à¨¨, ®â ¯®¢¥¤¥­¨ï á¨áâ¥¬ë ¢ ¯à®è«®¬,

⪦¥ ®â ¯à¥¤ë¤ãé¨å §­ 祭¨© ¢å®¤ .

⥬ â¨ç¥áª¨ íâ® ¬®¦­® ®¯¨á âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬.

¡®§­ 稬 ç¥à¥§ u(t) y(t) ¢å®¤ ¨ ¢ë室 á¨áâ¥¬ë ¢ ¬®¬¥­â t: áâ â¨ç¥áª®© á¨áâ¥¬ë ¤«ï ª ¦¤®£® t ¢ë室 y(t) ¬®¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì ®¤­®§­ ç­® ¯® §­ 祭¨î u(t) ¢ â®â ¦¥ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨. «ï í⮩ 楫¨ á«ã¦¨â áâ â¨ç¥áª ï å à ªâ¥à¨áâ¨-

ªy = f (u) ¨«¨ y = f (u t) (¤«ï ­¥áâ 樮­ à­ëå á¨á⥬).

ᮮ⢥âá⢨¨ á ­¥© ¯®«ãç ¥¬ y(t) = f (u(t)): ¨ª ª®© ¤à㣮© ¤®¯®«­¨â¥«ì­®© ¨­ä®à¬ 樨 ­¥ âॡã¥âáï. 2

­ ç¥ ®¡á⮨⠤¥«® á ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¬¨ á¨á⥬ ¬¨. å ®á®- ¡¥­­®áâìî ï¥âáï â®, çâ® ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï y(t) ­¥¤®áâ â®ç- ­® ¨­ä®à¬ 樨 ®¡ u(t) ¢ â®â ¦¥ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨. ë室­®© ᨣ­ « § ¢¨á¨â â ª¦¥ ®â ¯à¥¤ëáâ®à¨¨ ¨§¬¥­¥­¨ï ¢å®¤ ¨, ªà®¬¥ ⮣®, ᮢ®ªã¯­®á⨠­¥ª®â®àëå ¢¥«¨ç¨­, ­ §ë¢ ¥¬ëå ­ ç «ì­ë¬ á®áâ®ï­¨¥¬ á¨á⥬ë. áᬮâਬ ¯®­ï⨥ á®áâ®- ï­¨ï ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡­®.

®­ï⨥ á®áâ®ï­¨ï á¨á⥬ë (§¢¥­ ) ï¥âáï ®¤­¨¬ ¨§

¡§®¢ëå ¯®­ï⨩ ⥮ਨ ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å á¨á⥬, ¯®í⮬㠮­®

1 ¤ «ì­¥©è¥¬ â¥à¬¨­ë á¨á⥬ , ¯®¤á¨á⥬ ¨ §¢¥­® ®¡ëç­® ¡ã- ¤ã⠨ᯮ«ì§®¢ âìáï ª ª ᨭ®­¨¬ë, â ª ª ª ¨å ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨

®¤­®â¨¯­ë.

2 â â¨ç¥áª®© å à ªâ¥à¨á⨪®© ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ­ §ë¢ îâ § ¢¨á¨- ¬®áâì ¬¥¦¤ã ¢å®¤®¬ ¨ ¢ë室®¬ á¨áâ¥¬ë ¢ ãáâ ­®¢¨¢è¥¬áï ०¨¬¥ (¯® ¨áâ¥ç¥­¨¨ ¢à¥¬¥­¨ ¯¥à¥å®¤­ëå ¯à®æ¥áᮢ). ®¦­® ᪠§ âì, çâ® ã ¡¥§ë- ­¥à樮­­ëå á¨á⥬ (§¢¥­ì¥¢) íâ®â ०¨¬ ­ áâ㯠¥â ­¥¬¥¤«¥­­®.

15

®¯à¥¤¥«ï¥âáï ­¥ ç¥à¥§ ¤à㣨¥ ¯®­ïâ¨ï, ªá¨®¬ â¨ç¥áª¨ { ¯¥à¥ç¨á«¥­¨¥¬ ᮢ®ªã¯­®á⨠¯à¨áãé¨å ¥¬ã ᢮©á⢠[44, 46].

áᬮâਬ ­¥ª®â®àë¥ ¨§ ­¨å.

ª ®â¬¥ç¥­® ¢ëè¥, ¢ë室 ¤¨­ ¬¨ç¥áª®© á¨áâ¥¬ë ®¯à¥- ¤¥«ï¥âáï ®¤­®§­ ç­®, ¥á«¨ § ¤ ­ë ¯à¥¤ëáâ®à¨ï ¨§¬¥­¥­¨ï ¢å®¤­®£® ¯à®æ¥áá ­ ­¥ª®â®à®¬ ¯à®¬¥¦ã⪥ ¨, ªà®¬¥ ⮣®, ­¥ª®â®à ï ᮢ®ªã¯­®áâì ¢¥«¨ç¨­, ®â­®áïé ïáï ª ­ ç «ã ¤ ­- ­®£® ¯à®¬¥¦ã⪠{ ­ ç «ì­®¥ á®áâ®ï­¨¥ á¨á⥬ë. ¨¬¢®«¨- ç¥áª¨ íâ® ¡ã¤¥¬ § ¯¨áë¢ âì â ª: 3

y(t1) = S(x(t0 )\ u[t0 t1]):

ª¨¬ ®¡à §®¬, á®áâ®ï­¨¥ á¨á⥬ë { íâ® ­¥ª®â®àë© ¯ à - ¬¥âà, ¯®§¢®«ïî騩 ᤥ« âì ®¤­®§­ ç­ë¬ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¥¥ ¢ë- 室 ¯® ¢å®¤ã.

§«¨ç­ë¥ ­ ç «ì­ë¥ á®áâ®ï­¨ï ¯à¨¢®¤ïâ, ¢®®¡é¥ £®¢®àï,

ªà §«¨ç­®© ॠªæ¨¨ ­ ®¤­® ¨ â® ¦¥ ¢å®¤­®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥. ¯à¨¢¥¤¥­­®¬ ¢ëè¥ ãà ¢­¥­¨¨ S { ­¥ª®â®àë© ®¯¥à â®à, ¯à¥- ®¡à §ãî騩 ®¤­ã äã­ªæ¨î ¢ ¤àã£ãî.

®áâ®ï­¨¥ á¨áâ¥¬ë ¤®«¦­® 㤮¢«¥â¢®àïâì ç¥âë६ ªá¨®- ¬ ¬ (ãá«®¢¨ï¬) ᮢ¬¥áâ­®á⨠[44]. áᬮâਬ ¤¢¥ ­ ¨¡®«¥¥

à §¢¨â¨ï ¯à®æ¥áá ¢ ¡ã¤ã饬. ᫨ 䨪á¨à®¢ âì ­ ç «ì­®¥ á®áâ®ï­¨¥, â® ¡ã¤ã饥 ®â ¯à®è«®£® ­¥ § ¢¨á¨â\ ¢á¥, çâ® ­ã¦-

­® §­ âì ®â ¯à®è«®£® ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯à®æ¥áá ¢ ¡ã¤ã饬, ᮤ¥à¦¨âáï ¢ á®áâ®ï­¨¨ ­ ¤ ­­ë© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¡ã¤ã饣® ¯®¢¥¤¥­¨ï á¨áâ¥¬ë ­¥ ¨¬¥¥â §­ 祭¨ï â®, ª ª ®­ ¯à¨è« ¢ ¤ ­­®¥ á®áâ®ï­¨¥, { ¯®

­ ç «ì­®¬ã á®áâ®ï­¨î ¨ ¢å®¤ã ¯à®æ¥áá ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®¤­®- §­ ç­®.

ªá¨®¬ 2. ᫨ âà ¥ªâ®à¨î á¨á⥬ë à §¡¨âì ­ àï¤ ãç á⪮¢, â® ¬®¦­® à áᬠâਢ âì ¤¢¨¦¥­¨¥ ­ ª ¦¤®¬ ¨§ ­¨å ª ª ­®¢ãî âà ¥ªâ®à¨î ¯à¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饬 ­ ç «ì­®¬ á®áâ®ï­¨¨ (á¬. à¨á. 1.1, ¡).

ãáâì t0 < t1 < t2: ®£¤ y(t2) = S(x(t0 )\ u[t0 t2]): ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¯à¨ «î¡ëå x(t0) u[t0 t1] ¬®¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì á®áâ®ï­¨¥

3 ¥à¥§ u[t0t1] ®¡®§­ 祭® á㦥­¨¥ ä㭪樨 u( ) ­ ¯à®¬¥¦ã⮪ [t0 t1]:

16

б¨бв¥¬л ¤®«¦­® ¨§¬¥­пвмбп ¢® ¢а¥¬¥­¨ б®®в¢¥вбв¢гой¨¬ ®¡а §®¬ (¢ § ¢¨б¨¬®бв¨ ®в ¢е®¤­®£® ¯а®ж¥бб ¨ ­ з «м­®£® б®бв®п­¨п).

¯à¥¤¥«¥­¨¥.

­®¦¥á⢮ X = fxg ¢®§¬®¦­ëå §­ 祭¨© á®áâ®ï­¨ï á¨áâ¥¬ë ­ §ë¢ ¥âáï ¯à®áâà ­á⢮¬ á®áâ®ï­¨©

(¤ ­­®© á¨á⥬ë). 4 2

áâ® ¬®¦­® à áᬠâਢ âì ¢ ª ç¥á⢥ ¯à®áâà ­á⢠á®- áâ®ï­¨© n-¬¥à­®¥ «¨­¥©­®¥ ¢¥é¥á⢥­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮, X = Rn: ®£¤ á®áâ®ï­¨¥ x(t) ¥áâì n-¬¥à­ë© ¢¥é¥á⢥­­ë© ¢¥ªâ®à { ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï, ¨«¨ ä §®¢ë© ¢¥ªâ®à. ®¬¯®­¥­âë í⮣®

¢¥ªâ®à ®¡ëç­® ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì ç¥à¥§ xi(t) â.¥. ¯¨á âì

2 x1(t) 3

( ) x(t) = 6 x2.t 7 :

4 xn(t)5

«ï ªà ⪮á⨠¡ã¤¥¬ â ª¦¥ ¨á¯®«ì§®¢ âì § ¯¨áì

x = colfx1 x2 : : : xng ¨«¨ x = [x1 x2 : : : xn]T :

4 ᯮ«ì§ã¥âáï â ª¦¥ â¥à¬¨­ "ä §®¢®¥ ¯à®áâà ­á⢮".

17

ª ï § ¯¨áì ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ®§­ ç ¥â, çâ® x ¥áâì ¢¥ªâ®à- á⮫¡¥æ, á®áâ ¢«¥­­ë© ¨§ à ᯮ«®¦¥­­ëå ¢ á⮫¡¥æ ª®¬¯®- ­¥­â ¢¥ªâ®à®¢ xi i = 1 2 : : : n : ­®£¤ , ª ª ¡ã¤¥â ¢¨¤­® ¨§ ª®­â¥ªáâ , ¨­¤¥ªá ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¤«ï ®¡®§­ 祭¨ï à §«¨ç­ëå ®¤­®¨¬¥­­ëå ¢¥ªâ®à®¢.

¬¥â¨¬, çâ® â ª®© ¢¨¤ ¯à®áâà ­á⢠á®áâ®ï­¨© ­¥ ¨áç¥à- ¯ë¢ ¥â ¢á¥å ¢®§¬®¦­ëå á¨âã 権. ¯à¨¬¥à, ¯à®áâà ­á⢮ á®áâ®ï­¨© ª®­¥ç­ëå ¢â®¬ ⮢ á®á⮨⠨§ ª®­¥ç­®£® ç¨á« â®ç¥ª. ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¤«ï ¬­®£¨å á¨á⥬ ­¥«ì§ï 㪠§ âì ª®­¥ç­®¥ §­ 祭¨¥ n à §¬¥à­®á⨠¯à®áâà ­á⢠X: в ª¨¬ б¨бв¥¬ ¬ ®в­®бпвбп а §«¨з­л¥ а б¯а¥¤¥«¥­­л¥ ®¡к¥ªвл, ¤¨- ­ ¬¨ª ª®в®але ®¯¨бл¢ ¥вбп ¤¨дд¥а¥­ж¨ «м­л¬¨ га ¢­¥­¨- п¬¨ ¢ з бв­ле ¯а®¨§¢®¤­ле, ®¡к¥ªвл б § ¯ §¤л¢ ­¨¥¬ ¨ в ª ¤ «¥¥. нв®© ª­¨£¥ а бб¬ ва¨¢ овбп в®«мª® ª®­¥ç­®¬¥à­ë¥ ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ á¨á⥬ë. ¤­ ª® ¨ ¤«ï ª®­¥ç­®¬¥à­ëå á¨á⥬ ­¥ ®¡ï§ ⥫쭮 X = Rn: ¯à¨¬¥à, ¤«ï ¯à®á⥩襩 ¬¥å ­¨- ç¥áª®© á¨á⥬ë { ¬ ïâ­¨ª { ®¤­®© ¨§ ¯¥à¥¬¥­­ëå á®áâ®ï­¨ï ï¥âáï 㣮« ¯®¢®à®â ®â­®á¨â¥«ì­® â®çª¨ ¯®¤¢¥á . ® ¢ ¬­®¦¥á⢥ ¢®§¬®¦­ëå §­ 祭¨© 㣫®¢®© ¯¥à¥¬¥­­®© â®çª¨ 0 à ¤. ¨ 2 à ¤. ᮢ¯ ¤ îâ. «¥¤®¢ ⥫쭮, íâ® ¬­®¦¥á⢮

­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì «¨­¥©­ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬, ¥£® £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡à §®¬ ï¥âáï ­¥ ¯àï¬ ï, ®ªà㦭®áâì. âண®¥ à á- ᬮâ७¨¥ â ª¨å á¨á⥬ âॡã¥â ¯à¨¢«¥ç¥­¨ï ¯®­ïâ¨ï ¬­®£®- ®¡à §¨ï ¨ ¢ë室¨â § à ¬ª¨ í⮩ ª­¨£¨. ¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥ ¬­®£¨¥ ᢮©á⢠á¨á⥬ á 㣫®¢ë¬¨ ª®®à¤¨­ â ¬¨ ¬®¦­® ¨§ãç âì, ­¥ ¨á¯®«ì§ãï ªá¨®¬ «¨­¥©­®£® ¯à®áâà ­á⢠. ®í⮬ã, ¥á«¨ ­¥

â ª¦¥ ¬®¦­® à áᬠâਢ âì ª ª á®áâ®ï­¨¥ ¤ ­­®© á¨á⥬ë

[44]. ª¨¬ ®¡à §®¬, á®áâ®ï­¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ­¥¥¤¨­á⢥­- ­ë¬ ®¡à §®¬, á â®ç­®áâìî ¤® ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­®£® ¯à¥- ®¡à §®¢ ­¨ï (ª®â®àëå ¬®¦¥â ¡ëâì ᪮«ì 㣮¤­® ¬­®£®).

6

¦¥â ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ­ ¤«ï ®¯¨á ­¨ï á®áâ®ï­¨ï á¨á⥬ë. -

ª®© ¯¥à¥å®¤ ­ §ë¢ ¥âáï ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥¬ ¡ §¨á ¢ ¯à®áâà ­- á⢥ á®áâ®ï­¨©. â® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ­¥ ­ àãè ¥â ¢å®¤®- ¢ë室­ëå ᮮ⭮襭¨© ¢ ®¯¨á ­¨¨ á¨á⥬ë.

18

®­ªà¥â¨§¨à㥬 ¢¨¤ ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï. áᬮâਬ â ª ­ §ë¢ ¥¬ë¥ ª®­¥ç­®¬¥à­ë¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ë¥ (­¥¯à¥àë¢- ­ë¥) á¨á⥬ë. à ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï â ª¨å á¨á⥬ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥­ë ¢ ¢¨¤¥

ï­¨ï, ¨«¨ í¢®«î樮­­®¥ ãà ¢­¥­¨¥, ®¯¨áë¢ ¥â ¨§¬¥­¥­¨¥ á®- áâ®ï­¨ï á¨áâ¥¬ë ¢® ¢à¥¬¥­¨ t 2 R ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ­ ç «ì- ­ëå ãá«®¢¨© ¢ ¬®¬¥­â t0 ¨ ¢å®¤­®£® ¢®§¤¥©á⢨ï u(t): â®à®¥ ãà ¢­¥­¨¥ { ãà ¢­¥­¨¥ ¢ë室 , ãáâ ­ ¢«¨¢ ¥â á¢ï§ì ¬¥¦¤ã â¥-

ªã騬¨ §­ 祭¨ï¬¨ á®áâ®ï­¨ï ¨ ¢å®¤ , á ®¤­®© áâ®à®­ë, ¨

5 «ï «¨­¥©­ëå á¨á⥬ á¯à ¢¥¤«¨¢ ¯à¨­æ¨¯ á㯥௮§¨æ¨¨, ᮣ« á­® ª®â®à®¬ã ॠªæ¨ï á¨áâ¥¬ë ­ «¨­¥©­ãî ª®¬¡¨­ æ¨î (á㯥௮§¨æ¨î) ¢®§- ¤¥©á⢨© ᮢ¯ ¤ ¥â á ⮩ ¦¥ «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ 樥© ॠªæ¨© ­ ª ¦¤®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥ ¢ ®â¤¥«ì­®áâ¨. ¡é¥¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ «¨­¥©­ëå ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å á¨á⥬ ¯à¨¢¥¤¥­® ¢ ¯. 10.3.1. á. 231.

19

а ¢­¥­¨п б®бв®п­¨п (1.2) а¥ «¨§г¥¬ле ­¥¯а¥ал¢­ле б¨- бв¥¬ ¨««обва¨аговбп бвагªвга­®© бе¥¬®©, ¯а¨¢¥¤¥­­®© ­

à¨á. 1.2.

¨á. 1.2. âàãªâãà­ ï á奬 á¨á⥬ë (1.2).

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2. ᫨ ¬ âà¨æë A(t) B(t) C(t) D(t) ¯®áâ®- ï­­ë (­¥ § ¢¨áï⠮⠢६¥­¨ t), â® á¨á⥬ (1.2) ­ §ë¢ ¥âáï

áâ 樮­ à­®©, ¢ ¯à®â¨¢­®¬ á«ãç ¥ { ­¥áâ 樮­ à­®©. 2

¨¤ ¯à®æ¥áᮢ ¢ áâ 樮­ à­ëå á¨á⥬ å ­¥ § ¢¨á¨â ®â â®- £®, ª ª®© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ à áᬠâਢ ¥âáï ª ª ­ ç «ì­ë©.®í⮬㠤«ï ­¨å ¬®¦­® áç¨â âì t0 = 0:

®áª®«ìªã ­¨¦¥ ®á­®¢­®¥ ¢­¨¬ ­¨¥ 㤥«ï¥âáï áâ 樮­ à- ­ë¬ ᮡá⢥­­ë¬ á¨á⥬ ¬, § ¯¨è¥¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ãà ¢- ­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï:

x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) x(0) = x0 t 0: (1.3)

­ «®£¨ç­® ¬®£ãâ ¡ëâì § ¯¨á ­ë ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï à¥- «¨§ã¥¬ëå ¤¨áªà¥â­ëå á¨á⥬. ­¨ ¨¬¥îâ ¢¨¤ à §­®áâ­ëå

ãà ¢­¥­¨©

x(t) = Ax(t) + Buu(t) + B''(t) yc(t) = Ccx(t) ym(t) = Cmx(t):

­¥ª®â®àëå á«ãç ïå ¯®¤®¡­ ï ¤¥â «¨§ æ¨ï ®ª §ë¢ ¥âáï 㤮¡- ­®© ¨ ¡ã¤¥â ¨á¯®«ì§®¢ âìáï ­¨¦¥.

1.3. ¨­¥ ਧ æ¨ï ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï

а¥ «м­ле б¨бв¥¬ е ¢б¥£¤ ¯а¨бгвбв¢гов ­¥«¨­¥©­л¥ § - ¢¨б¨¬®бв¨, ®¡гб«®¢«¥­­л¥, ­ ¯а¨¬¥а, в ª¨¬¨ б¢®©бв¢ ¬¨ д¨- §¨з¥бª¨е §¢¥­м¥¢, ª ª ­ блй¥­¨¥, «одв, ­¥зг¢бв¢¨в¥«м­®бвм, ªг«®­®¢® ("бге®¥") ва¥­¨¥ ¨ в ª ¤ «¥¥. в¨ ндд¥ªвл ¯а¨¢®- ¤пв ª ­¥«¨­¥©­®бв¨ б¨бв¥¬л ¢ ж¥«®¬. ¥в®¤л ¨бб«¥¤®¢ ­¨п ­¥«¨­¥©­ле б¨бв¥¬ ¡г¤гв а бᬮва¥­л ¢ £« ¢¥ 11. б. 242. б- б«¥¤®¢ ­¨¥ б¨бв¥¬л ¬®¦­® бгй¥бв¢¥­­® г¯а®бв¨вм ¯гв¥¬ «¨- ­¥ ਧ 樨 ¥¥ ¬®¤¥«¨, â.¥. ¯à¨¡«¨¦¥­­®© § ¬¥­®© ãà ¢­¥­¨© ¢¨¤ (1.1) ãà ¢­¥­¨ï¬¨ (1.2) (¨«¨, ¤«ï ¤¨áªà¥â­ëå ¯à®æ¥áᮢ,

{¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ (1.5) ¢¬¥áâ® (1.4)).

áᬮâਬ ¯à®æ¥áá «¨­¥ ਧ 樨 ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥. ãáâì

¤¨­ ¬¨ª á¨áâ¥¬ë ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨ï¬¨ á®áâ®ï­¨ï (1.1)

¢¥¤¥¬ ­¥ª®â®àë¥ ¯à®¨§¢®«ì­® ¨§¬¥­ïî騥áï ¯® ¢à¥¬¥- ­¨ ("®¯®à­ë¥") ä㭪樨 x (t) 2 Rn ¨ u (t) 2 Rm. ©¤¥¬ «¨- ­¥©­ãî ç áâì à §«®¦¥­¨ï ä㭪権 f ( ) g( ) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠x (t) u (t) ¢ àï¤ ¥©«®à . 6 १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬