Тема 9. Элементы аналитической геометрии

41. Составьте уравнение прямой, отсекающей на оси Оу отрезок b=3 и образующей с осью Ох угол:

а) 45⁰; б) 135⁰. Постройте эти прямые.

42. Уравнения прямых 1) 2х-3у=6; 2) 3х-2у+4=0 привести к виду уравнений «в отрезках».

43. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки:

а) А=(-1, 3) и В=(4, -2)

б) А=(-5, 4) и В=(3, -2).

44. Напишите уравнения двух прямых, проходящих через точку А=(4, 5) так, что одна параллельна оси Ох, а другая параллельна оси Оу.

45. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2х-3у-1=0 и 3х-у-2=0 перпендикулярно прямой у=х+1.

46.Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку (2; 1; -1) и перпендикулярную вектору (-2; 4; 3).

47. Выяснить, какие плоскости являются параллельными или перпендикулярными:

1) 2x-3 y -4z+11=0 и -4x+6y +8z+36 =0;

2) 2x -3z-12=0 и 4x +4y -6z+7=0;

3) 3x -2y -2z+7=0 и 2x +2y +z+4=0.

48. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку (2; -1; 6) и параллельную плоскости x + y - 2z + 5 = 0.

49. Напишите уравнение плоскости 3x-6y +2z-12=0 в отрезках.

50. Приведите к нормальному виду уравнение плоскости x - 2y + 2z – 6 = 0.

51. Напишите уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точку К(4; 3; 2).

52. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку

(-1; -5; 8) и перпендикулярной прямой

.

Раздел III. Задачи оптимизации Тема 10. Классические методы оптимизации

53. Найдите точки экстремума функции z =x²+y² при условии 3х+2у=11, используя метод множителей Лагранжа.

54. Найдите точки экстремума функции z =2x²+ y² при условии х+2у=3, используя метод множителей Лагранжа.

55. Найдите точки экстремума функции z =x–y при условии х²+у²=1, используя метод множителей Лагранжа.

Тема 11. Задачи линейного программирования

56. Решите задачу линейного программирования графическим способом:

57. Решите задачу симплекс-методом:

58. Решите задачу симплекс-методом:

59. Предприятие выпускает два вида продукции П₁ и П₂. Для выпуска каждого вида продукции требуется 4 вида ресурсов: Р₁, Р₂, Р₃, Р₄. Объем ресурсов вида , которыми располагает предприятие, равен . Цена 1 единицы продукции вида П_j равна С_j (j = 1,2). Объемы ресурсов каждого вида , используемых при выпуске 1 единицы продукции вида П_j, указаны в таблице. Сколько продукции каждого вида нужно выпустить, чтобы общая стоимость выпущенной продукции была максимальной?

Требуется:

а) решить задачу графическим методом;

б) решить задачу симплексным методом, поставить двойственную задачу, найти ее решение и проверить правильность решения прямой и двойственной задачи с помощью теоремы двойственности;

в) дать экономическую интерпретацию решений прямой и двойственной задач.

Ресурсы\продукция	П1	П2	Объем ресурсов
Р1	1	3	30
Р2	1	2	21
Р3	1	1	14
Р4	3	1	36
Стоимость 1 ед. продукции Сj	2	5

60. При откорме животных каждое животное ежедневно должно получить не менее 60 ед. питательного вещества А, не менее 50 ед. питательного вещества В и не менее 12 ед. вещества С. Указанные питательные вещества содержат три вида корма. Содержание единиц питательных веществ в 1кг каждого из видов корма приведено в таблице:

Питательные вещества	Количество единиц питательных веществ в 1 кг корма
	1 вида	2 вида	3 вида
А	1	3	4
В	2	4	2
С	1	4	3

Составьте дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ при минимальных денежных затратах, если цена 1 кг корма 1 вида составляет 9 руб., корма 2 вида – 12 руб., корма 3 вида – 10 руб.

61. На трех складах оптовой базы сосредоточен однородный груз в количествах 90, 60 и 150 ед. Этот груз необходимо перевезти в 4 магазина. Каждый из магазинов должен получить соответственно 120, 40, 60 и 80 ед. груза. Тарифы перевозок ед. груза из каждого из складов во все магазины задаются матрицей:

.

Составьте такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной. Начальный план перевозок транспортной задачи построить методом северо-западного угла.

62. Производственное объединение имеет в своем составе три филиала, которые производят однородную продукцию соответственно в количествах, равных 50, 30 и 10 ед. Эту продукцию получают четыре потребителя, расположенные в разных местах. Их потребности соответственно равны 30, 30, 10 и 20 ед. Тарифы перевозок ед. продукции от каждого из филиалов соответствующим потребителям задаются матрицей:

Составьте такой план прикрепления получателей продукции к ее поставщикам, при котором общая стоимость перевозок будет минимальной. Начальный план прикрепления получателей продукции к ее поставщикам построить методом наименьшей стоимости.

63. Некоторый однородный груз, сосредоточенный у четырех поставщиков А₁,А₂,А₃,А₄ в количестве а₁,а₂,а₃,а₄ единиц соответственно, необходимо доставить пяти потребителям В₁,В₂,В₃,В₄,В₅ в количестве b₁, b ₂, b ₃, b ₄, b ₅ ед. соответственно. Тарифы c перевозок 1 ед. груза от I-го поставщика к j-му производителю заданы матрицей С. Требуется составить план перевозок, имеющий минимальную стоимость, позволяющий вывезти все грузы и удовлетворить все потребности потребителей.

;

а₁=24,а₂=32,а₃=43,а₄=16; b₁=20, b ₂=45, b ₃=10, b ₄=15, b ₅=25.