Тема 4. Интегральное исчисление функции одной переменной

16. Найдите интегралы:

17. Вычислите:

18. Найдите площадь фигур, ограниченных линиями:

19.Найдите объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной линиями:

Тема 5. Функции нескольких переменных

20. Найдите предел функции

21. Найдите частные производные первого и второго порядка функций:

22. Найдите полный дифференциал функций:

23. Найдите экстремумы функций двух переменных:

24. Методом наименьших квадратов найдите эмпирическую зависимость y = ax+b для функции, заданной таблицей:

x	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0
y	0.7	1.7	1.6	3.1	3.6	4.6

25. Для производственной функции Кобба-Дугласа найдите средний, предельный показатели эффективности использования каждого фактора и эластичности:

с=3, х₁=3, х₂=4, .

26. Функционирование производственно-экономической системы описывается функцией Кобба-Дугласа , первоначальные уровни факторных показателей х₁=2, х₂=3, планируемое увеличение производственных фондов ∆х₁=1. Требуется найти соответствующее изменение ∆х₂ затрат труда, при котором уровень результатного показателя останется прежним.

Раздел II. Линейная алгебра и элементы аналитической геометрии

Тема 6. Векторный анализ

27.Выполните операции над векторами А= (1, 2, -1, 3),

В = (3, 0, 4, -5):

а) С = А+В;

б) D = A-B;

в) N = 2A+3B;

г) = (А, В).

28. Выясните, являются ли векторы А₁ и А₂ линейно зависимыми:

а) А₁=(2,0), А₂=(0,3);

б) А₁=(1,0,-2), А₂=(2,-1,0).

29. Докажите, что векторы А₁=(1,0,0,0), А₂=(0,1,0,0), А₃=(0,0,1,0), А₄=(0, 0,0,1) образуют базис в 4-х мерном пространстве.

30. Разложите вектор В = (2, -4, 15) по базису А₁, А₂, А₃, где А₁=(2,0,0), А₂=(0, 1,0), А₃=(0,0,5).

31. Среди векторов А=(-1,3,5,-4), В=(4, 2,2,3), С=(2,-6,-10,8) найдите:

а) коллинеарные;

б) ортогональные.

Тема 7. Система п линейных уравнений с п неизвестными

32.Решите систему линейных уравнений методом Жордана-Гаусса:

.

Тема 8. Матрицы и определители

33. Найдите матрицу С = АВ – 2ВА + 3Е, где:

, .

34. Найдите матрицу, обратную А, где:

а) ;

б) .

35. Решите систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:

.

36. В таблице приведены данные об использовании баланса за отчетный период, усл. ден. ед.:

Отрасль		Потребление		Конечный продукт	Валовый выпуск
		1	2
Производство	1	100	160	240	500
	2	275	40	85	400

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт первой отрасли должен увеличиться в 2 раза, а второй отрасли – на 20%.

3 7. Вычислите определители:

а) ; б)

38. Найдите алгебраические дополнения всех элементов матрицы

39. Найдите ранги матриц:

а) ; б) .

40. Решите систему линейных уравнений по формулам Крамера: