Тема 13. Случайные величины

Целью изучения данной темы является усвоение студентами таких понятий, как случайная величина, дискретная случайная величина, закон распределения случайной величины.

Понятие случайной величины определяется следующим образом. Осуществляется некоторое испытание, для которого известна совокупность элементарных исходов. В связи с данным испытанием рассматривается некоторая величина, которая в результате испытания может принимать различные числовые значения, не поддающиеся прогнозированию. Однако, известно, что при каждом конкретном элементарном исходе испытания эта величина принимает одно определенное значение. Эта величина называется случайной. Если множество возможных значений случайной величины конечно или бесконечно и может быть записано в виде последовательности, то такая случайная величина называется дискретной.

Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между всеми возможными значениями этой случайной величины и вероятностями, с которыми данная случайная величина принимает эти значения. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан таблицей, формулой, графиком.

Студенты должны знать определения, понимать эмпирический смысл числовых характеристик дискретных случайных величин (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение).

Конкретным примером закона распределения дискретной случайной величины является биномиальный закон распределения. Студентам необходимо знать определение биномиального закона, его связь с формулой Бернулли и числовые характеристики случайной величины, распределенной по биномиальному закону. Необходимо знать распределение Пуассона.

При изучении непрерывных случайных величин необходимо усвоить: случайная величина Х называется непрерывной случайной величиной, если закон ее распределения может быть задан равенством , где ( ) – произвольный интервал числовой оси, - плотность вероятности случайной величины Х.

Студенты должны знать определения и свойства функции распределения и плотности вероятности случайной величины, взаимосвязь функции распределения и плотности вероятности, знать определения и понимать эмпирический смысл числовых характеристик непрерывной случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение).

В качестве примеров законов распределения непрерывных случайных величин необходимо рассматривать конкретные законы распределения (равномерный, нормальный, показательный). Студентам необходимо знать определения законов распределения, числовые характеристики, формулы для вычисления вероятности попадания случайной величины в заданный интервал.

Закон больших чисел устанавливает близость между вероятностью случайного события и частостью появления его при большом числе испытаний. Наиболее общая форма этого закона дана П.Л. Чебышевым. Теорема Чебышева имеет применение в теории ошибок наблюдений.

Тема 14. Основы математической теории выборочного метода

Основные понятия математической статистики – генеральная совокупность и выборка. Основная задача математической статистики – по характеру распределения интересующего признака в выборке указать приближенно закон и параметры распределения этого признака в генеральной совокупности.

Необходимо знать определения дискретного и интервального вариационного ряда, уметь рассчитывать числовые характеристики выборки (выборочная средняя, выборочная дисперсия, выборочное стандартное отклонение), строить гистограмму, полигон, эмпирическую функцию распределения (кумуляту).

Студенты должны уметь привести примеры аналогов из теории вероятностей перечисленных понятий.

В данной теме рассматривается следующая задача. Некоторый признак Х распределен в генеральной совокупности по заранее неизвестному закону или этот закон может быть известен (нормальный, показательный и т.п.), но неизвестны конкретные значения параметров, характеризующих этот закон (а и σ для нормального закона, λ для показательного). Задача: используя информацию о распределении признака Х в выборке, оценить неизвестные значения параметров распределения этого признака в генеральной совокупности. При решении данной задачи используются статистические оценки параметров распределения (точечные и интервальные). Если необходимо указать приближенные значения неизвестных параметров теоретического распределения, то говорят о точечных оценках, если требуется указать границы, в которых заключены истинные значения этих неизвестных параметров, то говорят об интервальных оценках.

Студенты должны знать определение точечной статистической оценки неизвестного параметра теоретического распределения и уметь вычислять несмещенные, эффективные и состоятельные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии.

При изучении интервальных оценок студентам необходимо усвоить понятия доверительного интервала, надежности и точности интервальной оценки, уметь определять доверительные интервалы для генеральной средней и генерального стандартного отклонения нормально распределенного количественного признака.