Тема 10. Классические методы оптимизации

Классическая задача на условный экстремум - специфическая задача для функции нескольких переменных, когда ее экстремум ищется не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию, которое называется уравнением связи.

Наиболее простым способом нахождения условного экстремума функции двух переменных является сведение задачи к отысканию экстремума функции одной переменной. Данный способ приемлем, когда уравнение связи представляет собой достаточно простую функцию, например линейную.

Для отыскания условного экстремума в общем случае используется метод множителей Лагранжа.

Тема 11. Задачи линейного программирования

Задача линейного программирования сводится к следующему: требуется найти некоторую совокупность переменных, удовлетворяющих системе ограничений в форме равенств и неравенств минимизирующих (максимизирующих) линейную функцию. Если положительным компонентам некоторого допустимого решения отвечают линейно независимые векторы условий, то это допустимое решение является вершиной многоугольника решений.

В теории линейного программирования по симплекс-методу осуществляется целенаправленный перебор соседних вершин многоугольника решений так, чтобы в новой вершине значение функции цели было меньше, тогда за конечное число итераций будет получено решение задачи.

Среди задач линейного программирования встречаются задачи, допускающие решение более простыми методами. К таким относится транспортная задача. Она заключается в следующем: требуется составить план перевозок однородного груза из пунктов отправления, в каждом из которых имеется определенное количество единиц груза, в пункты назначения с целью удовлетворения запросов всех потребителей и минимизировать суммарную стоимость перевозок.

Раздел iy. Теория вероятностей и математическая статистика

Тема 12. Основные понятия и теоремы теории вероятностей

Приступая к изучению этого раздела, студентам необходимо познакомится с основными понятиями теории вероятностей к которым можно отнести: испытание и случайное событие, частота и относительная частота появления события в серии испытаний, свойство устойчивости относительной частоты, статистическое и классическое определения вероятности. Студент должен знать простейшие свойства вероятности.

Не всегда возможно вычисление вероятности какого-либо события с использованием только классического определения вероятности. В некоторых задачах вероятности отдельных "исходных" событий известны и требуется вычислить вероятность другого события, являющегося комбинацией исходных. В таких задачах используют теоремы сложения и умножения вероятностей.

Если требуется вычислить вероятность события при условии, что известны значения его вероятности при выполнении некоторых гипотез, или требуется переоценить значения вероятностей гипотез с учетом некоторой дополнительной информации о результатах испытания, то для решения такого рода задач используются формулы полной вероятности и формулы Байеса. Студенты должны знать определения, теоремы, формулы вычисления вероятностей и условия их применимости к той или иной задаче.

При осуществлении серии из п однородных независимых испытаний, в каждом из которых может произойти или не произойти некоторое событие А и требуется определить вероятность того, что в этой серии испытаний событие А произойдет определенное число раз, или вероятность того, что количество появлений события А в данной серии испытаний будет заключено в определенных границах используется:

1) если число испытаний п невелико и требуется вычислить вероятность того, что событие А в данной серии испытаний произойдет ровно k раз, т.е. , формула Бернулли. Вероятность того, что в данной серии испытаний событие А произойдет не менее k₁ раз и не более k₂ раз вычисляется с помощью формулы Бернулли и теоремы сложения вероятностей;

2) если число испытаний велико, для вычисления вероятности локальная теорема Лапласа, для вычисления вероятности интегральная теорема Лапласа.