Вычисление энергии Ферми

Энергия Ферми E_F может быть найдена интегрированием полной функции распределения в пределах от 0 до E_F:

. (10)

Этот интеграл определяет число частиц с энергией E_F. Полная функция распределения для вырожденного газа фермионов при темпе-ратуре абсолютного нуля будет определяться:

.

Плотность числа состояний определяется:

. (11)

Интегрируя, получим полное число частиц:

. (12)

Учитывая, что спин электрона равен s=1/2 и вычисляя интеграл, получим:

.

(13)

Из этого выражения энергия Ферми при температуре абсолют-ного нуля определяется:

. (14)

Изменение энергии Ферми при изменении температуры

Энергия Ферми – эффективная величина, которая характеризует связь объемных свойств кристалла с вакуумом. В связи с этим энергия Ферми может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Она определяет электрические, тепловые, механические и оптические свойства кристаллов. Значение энергии Ферми для метал-ла в области низких температур, где электронный газ вырожден, опре-делится:

. (15)

В области высоких температур, где электронный газ в металле становится невырожденным, . В связи с этим функция Ферми-Дирака при изменении температуры будет иметь вид (рисунок 2).

Рис. 2. Вид функции распределения Ферми- Дирака

при различных температурах

Собственные и примесные полупроводники

Проводимость химически чистых полупроводников называется собственной проводимостью, а сами полупроводники – собственны-ми полупроводниками. В таких полупроводниках энергетические зо-ны включают зону проводимости E_C, валентную зону E_V и запрещен-ную зону ΔE_g (рисунок 3).

Ec ev δEg запрещенная зона валентная зона зона проводимости

Рис. 3. Зонная диаграмма собственного полупроводника

В примесных полупроводниках энергетические зоны включают зону проводимости, валентную зону и запрещенную зону. Кроме того, зонная структура таких полупроводников включает примесные уров-ни, располагающие в запрещенной зоне. В полупроводнике n-типа та- ким уровнем является донорный уровень, который располагается вблизи зоны проводимости.

зона проводимости

валентная зона

ΔE_g запрещенная зона

E_d донорный уровень

E_C

E_V

Рис.4. Зонная диаграмма донорного полупроводника

В примесных полупроводниках p-типа акцепторный уровень рас-полагается вблизи валентной зоны.

ΔE_g запрещенная зона

зона проводимости

E_a акцепторный уровень

валентная зона

E_C

E_V

Рис.5. Зонная диаграмма акцепторного полупроводника

В примеcных полупроводниках различают основные и неос-новные носители заряда. Основные носители заряда определяются на-личием примеси. Неосновные носители заряда связаны с собственной проводимостью полупроводника. В примесном полупроводнике n-ти-па основными носителями заряда являются электроны, а неосновны-ми – дырки. В полупроводнике p-типа основными носителями заряда являются дырки, а неосновными – электроны.

Полупроводники, у которых электронный газ в зоне проводимос-ти или дырочный газ в валентной зоне является невырожденным, на-зываются невырожденными полупроводниками. Если электронный или дырочный газ является вырожденным, то такие полупроводники называются вырожденными.

Некоторые электрофизические параметры германия, кремния и арсенида галлия при T=300 K приведены в таблице 1.

Таблица 1

Электрофизические параметры	Ge	Si	GaAs
ni; pi (см-3)	2,5 1013	1,5 1010	1015
μn(см2/В·с)	3800	1300	12000
μp(см2/В·с)	1820	470	400
ΔЕg(эВ)	0,72	1,2	1,4
mn*/m	0,12	0,26	0,043
mp*/m	0,28	0,49	0,68

Примечание: в таблице m= 9.1·10^-31 кг – масса свободного электрона.