Введение

Появление большого разнообразия прикладных пакетов программ, позволяющих решать самые разнообразные задачи прикладной математики и физики, создает возможность в некоторых случаях отойти от проведения физического эксперимента, заменив его моделированием на ЭВМ. Это становится возможным при достаточно хорошей математической модели исследуемого процесса или явления. Моделирование на ЭВМ позволяет проводить исследования таких режимов, которые трудно провести в случае физического эксперимента.

Настоящие методические указания включают методику проведения лабораторной работы по курсу «Физические основы микроэлектроники», в которой рассматриваются вопросы моделирования на ЭВМ с помощью прикладного пакета программ MathCad волновых свойств микрочастиц.

Методические указания включают описание математической модели на основе общих физических уравнений, в частности, уравнения Шредингера, составление алгоритма решения задачи на языке прикладного пакета программ MathCad и проведения исследования для различных параметров математической модели.

Важным критерием при изложении материала методических указаний является доступность описания математической модели студентам 1 и 2 курсов, когда параллельно с чтением дисциплины «Физические основы микроэлектроники» читаются курсы физики и высшей математики.

Лабораторная работа № 1

ДВИЖЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ В СВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Математическая модель движения микрочастиц в свободном пространстве. Уравнение Шредингера.

Уравнение Шредингера

Качественное своеобразие микрочастиц, резко отличающихся от частиц классической механики, требует и качественно нового подхода к описанию их движения по сравнению с методами классической механики.

Описание состояния квантово-механических систем с помощью набора координат и импульсов, как это делается в классической механике, невозможно.

Наличие волновых свойств у микрочастиц требует, чтобы закон их движения определялся законом распространения волн де- Бройля, связанных с этими частицами.

Для рассмотрения движения частиц во внешних полях необходимо установить вид дифференциального уравнения, которому удовлетворяет волновая функция. Волновая функция должна быть решением этого уравнения.

Так как распространение любого волнообразного процесса описывается волновым уравнением, то следует ожидать, что движение микрочастиц должно описываться волновым уравнением. Это уравнение должно быть линейным, так как волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции.

Волновое уравнение Шредингера имеет вид:

,

(1)

где оператор Гамильтона запишется:

. (2)

– потенциальная энергия; – оператор Лапласа.

Уравнение Шредингера для стационарного случая

Потенциальная энергия, входящая в уравнение Шредингера, является, в общем случае, функцией координат и времени. Однако для многих практически важных случаев потенциальная энергия является функцией только координат и не зависит от времени или изменяется по гармоническому закону. Если вероятность нахождения частицы в элементе объема не зависит от времени, то такое распределение вероятности в пространстве является стационарным.

Состояние частицы, удовлетворяющее условию стационарного распределения, называется стационарным состоянием. В стационар- ном состоянии волновая функция может быть представлена в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только координат или времени:

. (3)

Уравнение Шредингера в этом случае может быть записано:

(4)

или, сделав преобразования получим:

. (5)

Если изменение волновой функции определяется гармонической зависимостью

, (6)

тогда для производной по времени можно записать:

(7)

Подставляя это выражение в уравнение Шредингера и сокращая на временную функцию, получим:

(8)

Раскрывая оператор Гамильтона

, (9)

получим уравнение, не содержащее временной переменной, которое получило название уравнение Шредингера для стационарного случая или амплитудное уравнением для волновой функции.

. (10)

Это уравнение описывает стационарное состояние микрочастицы и характеризует плотность вероятности изменения координат частицы.