- •Введение
- •Уравнение Шредингера для стационарного случая
- •Собственные волновые функции и собственные значения оператора Гамильтон
- •Уравнение Шредингера для свободной частицы, двигающейся в направлении оси
- •Моделирование движения микрочастицы в свободном пространстве с помощью интегрального пакета прикладных программ MathCad
- •Моделирование волнового пакета Определение волнового пакета
- •Волновая функция волнового пакета
- •Моделирование волнового пакета
- •Заключение
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Лабораторная работа №2 движение микрочастиц в поле потенциальных сил. Движение микрочастиц через потенциальный барьер Определение потенциального барьера
- •Уравнение Шредингера для частицы двигающейся через потенциальный барьер
- •Коэффициенты отражения и прозрачности.
- •Туннельный эффект
- •Лабораторное задание
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Лабораторная работа № 3
- •Исследование зонной структуры твердых тел
- •Строение вещества и коллективизированные электроны
- •В кристалле
- •Приближения при решении уравнения Шредингера для кристалла
- •Приближение слабосвязанных электронов.
- •Движение электрона в кристаллической решетке Модель Кронига-Пенни
- •Уравнение Шредингера для модели Кронига-Пенни
- •Решение уравнения Шредингера
- •Определение волнового числа
- •Зоны Бриллюэна. Модель приведенных зон
- •Заполнение зон электронами и классификация энергетическихзон
- •Зонная структура и электрические свойства твердых тел
- •Энергетическая структура алмазоподобных полупроводников.
- •Лабораторное задание
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Лабораторная работа №4 исследование статистических свойств носителей заряда в полупроводниках и металлах Химический потенциал невырожденного идеального газа. Энергия Ферми.
- •Распределение Ферми-Дирака при абсолютном нуле
- •Вычисление энергии Ферми
- •Изменение энергии Ферми при изменении температуры
- •Собственные и примесные полупроводники
- •Ec ev δEg запрещенная зона валентная зона зона проводимости
- •Статистика носителей заряда в собственном полупроводнике
- •Статистика носителей заряда в примесных полупроводниках
- •Уровень Ферми носителей заряда в примесном полупроводнике n-типа
- •Статистика носителей заряда в примесном полупроводнике p-типа
- •Уровень Ферми носителей заряда в примесном полупроводнике p-типа
- •Лабораторное задание:
- •Контрольные вопросы
- •Расчет концентраций равновесных носителей заряда в приконтактной области
- •Расчет уровней Ферми электронов и дырок в приконтактной области
- •Расчет потенциального барьера контакта двух полупроводников
- •Расчет концентрации неравновесных носителей заряда контакта двух полупроводников.
- •Расчет ширины области обедненной носителями заряда.
- •Расчет барьерной емкости контакта двух полупроводников
- •Расчет диффузионной длины носителей зарядов контакта двух полупроводников
- •Расчет тока проводимости контакта двух полупроводников
- •Расчет диффузионной емкости контакта двух полупроводников
- •Лабораторное задание
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Лабораторная работа №6 исследование электропроводности транзисторной структуры Физические процессы в транзисторной структуре
- •Расчет коэффициента передачи тока транзисторной структуры
- •Расчет концентрации неосновных носителей в области базы
- •Расчет плотности тока неосновных носителей в области базы
- •Расчет токов эмиттерного и коллекторного переходов
- •Эквивалентная схема биполярного транзистора
- •Эквивалентная схема биполярного транзистора в виде четырехполюсника
- •Эквивалентная схема биполярного транзистора
- •Расчет параметров элементов эквивалентной схемы транзисторной структуры
- •Математическая модель биполярного транзистора и расчет переходов
- •Расчет электрических параметров схемы с биполярным транзистором с использованием эквивалентной схемы
- •Лабораторное задание
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Лабораторная работа №7 физические процессы в полевых транзисторах Конструктивные особенности полевых транзисторов с изолированным затвором
- •Физические процессы в транзисторе
- •Эффективная подвижность носителей заряда в канале
- •Концентрация подвижных носителей в области канала
- •Напряжение отсечки
- •Ширина канала полевого транзистора
- •Вольтамперная характеристика полевого транзистора
- •Входная и выходная характеристики полевого транзистора
- •Лабораторное задание
- •Содержание
Статистика носителей заряда в собственном полупроводнике
В собственном полупроводнике носителями зарядов являются электроны в зоне проводимости и дырки в валентной зоне. Статисти-ческими характеристиками этих носителей заряда будут функция рас-пределения f(E), концентрация носителей ni и pi и энергия носителей заряда, которая характеризуется химическим потенциалом – энергией Ферми.
При нулевой температуре в химически чистом полупроводнике, как в зоне проводимости, так и в валентной зоне будут отсутствовать подвижные носители заряда. При увеличении температуры будет про-исходить активизация электронов в валентной зоне и они будут пере-ходить в зону проводимости. Уход электронов из валентной зоны бу-дет сопровождаться образованием дырочных носителей заряда в ва-лентной зоне. При этом количество электронов в зоне проводимости будет равно количеству дырок в валентной зоне ni=pi.
При комнатной температуре электронный газ в зоне проводимос-ти и дырочный газ в валентной зоне будут невырожденными. Следо-вательно, статистика электронного и дырочного газа в собственном полупроводнике при комнатной температуре будет определяться функцией распределения Максвелла-Больцмана:
, (16)
где NC и NV – эффективное число состояний в зоне проводимости и в валентной зоне, которые определяются выражениями:
, . (17)
В этих выражениях mn и mp – эффективные массы электронов и дырок. Для определения концентрации носителей заряда необходимо воспользоваться интегральной функцией распределения:
, (18)
где плотность числа состояний определится:
. (19)
Учитывая, что спин для электронов и дырок равен s=1/2 и рассмат-ривая совместно выражения для функции распределения и концентра-ций носителей заряда, получим для концентраций:
, (20)
где ΔEg – ширина запрещенной зоны.
EV
EC
ΔEg/2
μn=μp
Рис.6. Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике
Химический потенциал или уровень Ферми электронов зоны проводимости определится:
.
Это выражение определяет значение химического потенциала электронов зоны проводимости, отсчитываемого от дна зоны проводи-мости. Так как для невырожденного полупроводника концентрация электронов меньше числа эффективных состояний в зоне проводимо-сти n<NC, то величина химического потенциала будет меньше нуля , то есть уровень Ферми электронов должен располагаться ни-же дна зоны проводимости. При этом, с уменьшением концентрации электронов уровень Ферми будет опускаться ниже.
Химический потенциал дырочного газа в валентной зоне опреде-лится:
.
В равновесном состоянии уровни Ферми для электронов и дырок совпадают:
.
Статистика носителей заряда в примесных полупроводниках
n-типа
Зонная диаграмма примесного полупроводника n-типа имеет вид:
ΔEg/2
Ed
донорный уровень
зона проводимости
валентная зона
EС
EV
Рис. 7. Зонная диаграмма полупроводника n-типа
К статистическим параметрам примесного полупроводника n-ти-па относятся виды носителей заряда, их концентрации и функции рас-пределения, энергия газа, формируемого этими зарядами.
В примесном полупроводнике n-типа существуют основные носи-тели заряда – электроны (nn) и неосновные носители заряда – дырки (pn). Концентрация основных носителей заряда определяется наличи-ем донорной примеси nd и собственной проводимостью полупровод-ника ni. Концентрация основных носителей заряда в примесном полу-проводнике может, практически, принимать любые значения. Это определяется легированием полупроводника донорной примесью. По-этому электронный газ в полупроводнике n-типа может опреде- ляться как статистикой Максвелла-Больцмана, так и статистикой Ферми-Дирака.
Концентрация неосновных носителей заряда pn определяется соб-ственной проводимостью примесного полупроводника pn=pi. Поэтому дырочный газ в примесном полупроводнике n-типа будет определять-ся статистикой Максвелла-Больцмана.
Для определения концентраций носителей заряда воспользуемся интегральной функцией распределения:
.
В случае неосновных носителей заряда функция распределения f(E) определится:
.
Плотность числа состояний запишется:
,
.
Из этих выражений концентрация неосновных носителей заряда определится:
.
Концентрация основных носителей заряда будет определяться:
,
,
где величина nd будет зависеть от концентрации донорной примеси Nd. Если концентрация донорной примеси будет меньше эффективно-го числа состояний в зоне проводимости Nd<Nc, то при определении nd необходимо воспользоваться статистикой Максвелла-Больцмана:
,
где Ed – энергия ионизации донорного уровня. В том случае, если кон-центрация донорной примеси соизмерима с эффективным числом со-стояний в зоне проводимости Nd~Nc, то при определении nd необходи-мо воспользоваться распределением Ферми-Дирака:
,
где химический потенциал определится:
,
.
Таким образом для определения концентрации основных носите-лей заряда, связанных с донорной примесью, необходимо рассмотреть систему нелинейных уравнений, включая интегральное уравнение.