2.3. Поняття про статистичний розподіл. Функції розподілу

2.3.1. Закони розподілу молекул ідеального газу за швидкостями й енергіями теплового руху (розподіл Максвелла)

Під час хаотичного руху молекули ідеального газу зазнають багаторазових зіткнень, унаслідок чого змінюються і значення, і напрям їхніх швидкостей. Водночас, як з’ясовано вище, середня квадратична швидкість молекул v_кв за умови Т=const є сталою. Це можна пояснити тим, що в газі, який перебуває у рівноважному стані, усталюється певний розподіл молекул за швидкостями. Дж. Максвелл на підставі закономірностей математичної статистики і теорії імовірності вивів закон цього розподілу:

f(v)= (2.14)

де N – кількість молекул газу; dN(v) – кількість молекул, швидкість яких є в проміжку від v до v+dv.

Розподіл Максвелла описує деяка функція f(v) – функція розподілу молекул за швидкостями, або густина імовірності того, що молекула має швидкість v. Функція f(v)dv визначає відносну кількість молекул газу, швидкість яких є у проміжку від v до v+dv.

Умова нормування функції f(v)

(2.15)

щ

Рис. 2.4. Графік функції розподілу f(v)

о очевидно, оскільки імовірність того, що молекула має швидкість у проміжку від 0 до , дорівнює одиниці.

Графік функції розподілу f(v) показано на рис. 2.4. Характерний вигляд графіка f(v) зумовлений добутком . За малих швид-костей множник v² у рівнянні (2.14) зростає швидше, ніж спадає , а за великих швидкостей переважає експонента.

Максимум функції f(v) відповідає найімовірнішій швидкості молекул v_і, яку можна знайти шляхом диференціювання (2.14):

, (2.16)

звідки . (2.17)

Зазначимо, що з підвищенням температури максимум функції зсувається в бік більших швидкостей, однак площа під ним є сталою (див. рис. 2.4).

Якщо функція розподілу f(v) відома, то з рівняння (2.14) можна визначити відносну кількість молекул газу, швидкість яких є в заданому проміжку швидкостей v₁, v₂:

. (2.18)

Оскільки f(v) є густиною імовірності, то можна знайти середнє значення будь-якої функції (v):

. (2.19)

Скористаємось (2.19), щоб знайти середню арифметичну v та середню квадратичну   швидкості молекул газу:

(2.20)

. (2.21)

Як бачимо, вирази для  , отримані на підставі розподілу Максвелла (2.21) і з основного рівняння МКТ (2.13), є тотожними.

Середню арифметичну, найімовірнішу та середню квадратичну швидкості називають характерними швидкостями розподілу Максвелла.

Кінетична енергія молекул залежить від їхньої швидкості, тому на підставі (2.14) можна знайти розподіл молекул за їхніми кінетичними енергіями.

Зробимо у (2.14) заміну змінних:

, звідки , а . (2.22)

Тоді із (2.13), (2.14) і (2.22) отримаємо

. (2.23)

Функція

(2.24)

є функцією розподілу молекул за енергією теплового руху.

2.3.2. Барометрична формула. Розподіл Больцмана

У

Рис. 2.5. Зміна атмосферного тиску

з висотою h

разі обґрунтування розподілу молекул за швидкостями і кінетичними енергіями ми вважали, що зовнішні сили на молекули газу не діють. А як поводиться газ, що перебуває у потенціальному полі? Розглянемо це на прикладі земної атмосфери. Відомо, що атмосферний тиск зумовлений силами гравітаційного притягання, які діють на молекули повітря з боку Землі. Вважатимемо, що атмосферне повітря перебуває у стаціонарному стані, а його температура всюди однакова. За цих умов рівноважний стан довільного виділеного об’єму повітря забезпечений тим, що вага повітря зрівноважена силою Архімеда, яка зумовлена різницею тисків, що діють на нижню і верхню основи виділеного об’єму. Водночас молекули повітря перебувають у хаотичному безупинному тепловому русі. Сукупна дія сили тяжіння і теплового руху молекул спричиняє нерівномірність розподілу густини атмосфери з висотою, отже атмосферний тиск з висотою h знижується. Цю залежність виражає барометрична формула, уперше отримана П. Лапласом 1821 р.:

, (2.25)

де р₀ – атмосферний тиск на рівні моря (h=0).

Для доведення (2.25) розглянемо статичний вертикальний атмосферний стовп повітря висоти h (рис. 2.5). Нехай на висоті h тиск повітря становить р, тоді на висоті h+dh тиск дорівнюватиме

р-dp. Оскільки в шарі товщиною dh густину повітря можна вважати сталою, то приріст тиску

. (2.26)

Якщо тепер скористатись рівнянням стану газу p=nkT і врахувати, що , то , звідки

. (2.27)

Проінтегруємо (2.27) в межах від р₀ до р і від 0 до h, отримаємо формулу Лапласа (2.25). Якщо тепер знову скористатись рівнянням стану газу то (2.25) можна звести до вигляду

, (2.28)

де n – концентрація молекул на висоті h, n₀ – концентрація молекул на рівні h=0.

Зазначимо, що m₀gh – це потенціальна енергія молекул повітря у полі сили земного тяжіння. Больцман довів, що залежність (2.28) характерна для будь-якого газу, який перебуває у потенціальному полі

. (2.29)

Розподіл Больцмана (2.29) описує рівноважний розподіл за потенціальною енергією молекул газу, що перебувають у зовнішньому потенціальному полі сил.

Якщо концентрація частинок невідома в жодній точці поля, але відома загальна кількість частинок N, то розподіл Больцмана записують у вигляді

. (2.30)

Нормувальний множник С знаходять з умови нормування

, (2.31)

де V – об’єм, у якому містяться частинки.