3.6. Адіабатний процес

Адіабатним називають процес, під час якого термодинамічна система не обмінюється теплотою з навколишнім середовищем. На практиці до адіабатних можна зачислити всі швидкоплинні процеси. Рівняння адіабатного процесу для ідеального газу можна отримати з першого закону термодинаміки (3.1) і рівняння стану (2.6). Оскільки δQ=0, то

dU= –δA, або . (3.30)

Продиференціюємо (3.30), отримаємо

. (3.31)

Тоді з (3.30) і (3.31)

. (3.32)

Після розділення змінних і заміни (γ – безрозмірна величина, яку називають показником адіабати) маємо

, (3.33)

звідки після інтегрування

(3.34)

Це і є рівнянням адіабатного процесу, або рівнянням Пуассона. В інших змінних воно матиме вигляд

, або . (3.35)

Г

Рис. 3.5. Графіки адіабатного та ізотермічного процесів

рафік адіабатного процесу в координатах pV зображений на рис. 3.5 поряд з ізотермою. Адіабата є стрімкішою, ніж ізотерма, оскільки γ >1. Адіабатний процес ще називають ізоентропійним, бо ентропія газу під час цього процесу є сталою. Справді, оскільки δQ=0, то і S=const.

3.7. Політропні процеси

Чотири класичні ізопроцеси, властиві ідеальному газу, мають спільну ознаку, а саме – сталу теплоємність:

ізобарний процес – C=C_р;

ізохорний процес – C=C_V;

ізотермічний процес – C= ;

адіабатний процес – C=0.

Процеси, які відбуваються за сталої теплоємності (C=const), називають політропними. Рівняння політропного процесу

(3.36)

де n – показник політропи.

3.8. Робота в термодинамічних процесах

Роботу газу під час зміни його об’єму відображає інтеграл

А= . (3.37)

Обчислимо роботу газу в кожному з політропних процесів.

1. Ізотермічний процес (Т=const). З рівняння стану ідеального газу , тоді з (3.37)

А= . (3.38)

Оскільки , то

А= . (3.39)

2. Ізохорний процес (V=const). За цих умов А=0, оскільки dV=0. Отже, під час ізохорного процесу виконання роботи не відбувається.

3. Ізобарний процес (р=const). За умови р=const з рівняння (3.37) маємо

. (3.40)

4. Адіабатичний процес (δQ=0). З першого закону термодинаміки

. (3.41)

Тоді

. (3.42)

З використанням рівнянь (3.27) та (3.28) вираз (3.42) можна звести до вигляду

. (3.43)

3.9. Стисливість газів

Зі зміною тиску газ змінює об’єм. Цю властивість газу називають стисливістю, яку характеризує коефіцієнт стисливості

(3.44)

Тобто χ дорівнює відносній зміні об’єму газу, якщо його тиск змінюється на одиницю.

Розглядають ізотермічну χ_Т й адіабатичну χ_А стисливості газу. Скористаємось рівнянням стану газу і продиференціюємо його за умови Т=const:

, (3.45)

звідки , отже, на підставі (3.45)

. (3.46)

Коефіцієнт ізотермічної стисливості газу обернений до його тиску. Знак „мінус” означає, що зі збільшенням тиску об’єм газу зменшується.

В адіабатному процесі

. (3.47)

Продиференціюємо (3.47), отримаємо dV=0, звідки

. (3.48)

Отже, на підставі (3.46) і (3.48)

. (3.49)

Як бачимо, адіабатична стисливість газу менша від ізотермічної:

. (3.50)

3.10. Ентропія

Під час розгляду першого закону термодинаміки (3.1) ми виявили, що лише зміна внутрішньої енергії dU є повним диференціалом. Це зумовлено тим, що внутрішня енергія – це функція стану термодинамічної системи, яка не залежить від способу переходу системи зі стану 1 у стан 2. Крім того, термодинаміка оперує іншими термодинамічними функціями, які є функціями стану системи. Одна з них – ентропія S.

Спробуємо, скориставшись (3.1) та (3.12), виділити один повний диференціал функції, що залежить від макропараметрів ідеального газу:

. (3.51)

Поділимо (3.51) на Т, отримаємо

. (3.52)

Як бачимо, праворуч у рівнянні (3.52) маємо повний диференціал, отже, і ліва частина рівняння повинна бути повним диференціалом. Функцію стану, повним диференціалом якої є , називають ентропією S, отже,

. (3.53)

Фізичний зміст ентропії виражає формула Больцмана

S=к·lnW, (3.54)

де W – термодинамічна ймовірність.

Термодинамічна ймовірність W – це кількість мікростанів, які зумовлюють заданий макростан системи. На відміну від математичної ймовірності, яка не може бути більшою від одиниці, W може набувати будь-яких додатних значень.

Отже, ентропія S визначена логарифмом кількості мікростанів системи, за допомогою яких може бути реалізовано цей мікростан.

Ентропія має ще й статистичне тлумачення – вона є мірою розупорядкованості системи. Справді, зі збільшенням упорядкованості частинок системи кількість мікростанів зменшується, отже, зменшується й ентропія. Якщо система перебуває в стані термодинамічної рівноваги, то кількість мікростанів максимальна, отже, максимальною є ентропія системи.

З урахуванням ентропії рівняння (3.51) для оборотних процесів можна записати так:

. (3.55)

Це головна термодинамічна тотожність.

Для характеристики різноманітних термодинамічних процесів важли-вою є не ентропія системи, а її зміна. Щоб обчислити зміну ентропії у певному процесі, скористаємось (3.55):

. (3.56)

1. Ізотермічний процес:

. (3.57)

2. Ізохорний процес:

. (3.58)

3. Ізобарний процес:

, (3.59)

однак , тоді

. (3.60)

4. Адіабатний процес:

ΔS=0, оскільки δQ=0.

Отже, адіабатний процес є ізоентропійним.

Зміна ентропії в необоротних процесах. Розглянемо зміну ентропії під час вирівнювання температури двох тіл, які перебувають у тепловому контакті. Нехай температура першого тіла Т₁, а другого – Т₂. Після контакту температура обох тіл Т₃. Щоб визначити цю температуру скористаємось рівнянням теплового балансу

, (3.61)

звідки

. (3.62)

Тут m i c – маса і питома теплоємність кожного тіла.

Зміну ентропії в цьому нерівноважному процесі можна обчислити, звівши його до двох рівноважних процесів. Тоді

,

звідки

, (3.63)

Підставимо у (3.62) і (3.63), і переконаємось, що ΔS>0, тобто під час теплопередавання ентропія зростає.

Необоротними є також фазові переходи першого роду. Під час таких процесів зміну ентропії системи виражає формула

, (3.64)

де q – питома теплота; Т – температура фазового переходу.