6.3.1. Кодирование алфавитов автомата

Пусть таблицей 6.41 дан минимизированный абстрактный автомат.

Таблица 6. 41					Таблица 6. 42
текущие qi	xX				текущие qi	xX
	1	2	3			1	2	3
q1	q2; 1	q2; 0	q3; 0		001	010; 1	010; 0	011; 0
q2	q1; 0	q2; 1	q2; 1		010	001; 0	010; 1	010; 1
q3	q4; 1	q2; 0	q1; 0		011	100; 1	010; 0	001; 0
q4	q1; 0	q5; 1	q4; 1		100	001; 0	101; 1	100; 1
q5	q3; 0	q5; 1	q3; 1		101	011; 0	101; 1	011;1

В данном автомате X={1, 2, 3}, Y={0, 1}, Q={q₁, q₂, q₃, q₄, q₅}.

Число разрядов в регистрах входа и выхода структурного автомата и в регистре внутренних состояний должно быть:

log₂|X|=log₂3n=2,

log₂|Y|=log₂2n=1,

log₂|Q|=log₂5n=3.

Поведение автомата при кодовом описании сигналов представлено в таблице 6.42.

6.3.2. Автоматы без “памяти”.

Выбор состава и структуры комбинационного автомата начинают с исследования функциональной зависимости булевой функции от компонент булевого вектора. При этом минимизируют число двоичных переменных в описании одной или нескольких, полностью или частично определенных булевых функций. Аналитические приемы минимизации состава и структуры одной, полностью определенной булевой функции были изложены в 1.5.8.

Ниже будет рассмотрен инженерный способ минимизации числа двоичных переменных в описании одной или нескольких, полностью или частично определенных булевых функций.

6.3.2.1. Формирование оператора 

В основе метода лежит использование таблиц специального вида - диаграмм Вейча или карт Карно.

В диаграммах Вейча каждой клетке присваивается номер, значение которого в двоичной системе счисления записывается в клетку. Каждый разряд кода есть двоичная переменная булевого вектора. Число клеток диаграммы должно быть 2n, где n - число двоичных переменных. Особенность нумерации клеток заключена в том, что любые две рядом расположенные клетки отличаются в кодовой конфигурации не более, чем в одном разряде. Это позволяет для одинаковых значений булевой функции “склеивать” соседние клетки диаграммы и описывать их сокращенными элементарными конъюнкциями или дизъюнкциями двоичных переменных, имеющими одинаковое значение. Так можно объединить по вертикали и/или по горизонтали две, четыре и восемь смежных клеток. Следует обратить внимание, что кодовые конфигурации клеток левого и верхнего краев диаграммы отличаются от кодовых конфигураций клеток правого и нижнего краев также только в одном разряде, что позволяет “склеивать” и крайние клетки.

На рис. 6.20 представлены диаграммы Вейча для булевых векторов (x₁, x₂, x₃), (x₁, x₂, x₃, x₄) и (x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆). В этих диаграммах каждая клетка таблицы описана двоичным кодом длины три, четыре и шесть. Вне поля таблицы указаны имена двоичных переменных.

На рис. 6.21 представлены карты Карно для булевых векторов (x₁, x₂, x₃), (x₁, x₂, x₃, x₄) и (x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆). В этих картах нет наборов двоичных переменных, но вне поля таблицы указаны имена булевых переменных. Это позволяет в клетках карты указывать значения булевой функции.

Каждую клетку карты Карно можно описать элементарной конъюнкцией или элементарной дизъюнкцией двоичных переменных, используемых в карте Карно. Если в клетке карты указано значение функции f=1, то эта клетка может быть описана элементарной конъюнкцией СДНФ. И наоборот, если в клетке указано значение f=0, то – элементарной дизъюнкцией СКНФ (см. 1.5.7). Множество клеток карты Карно, где f=1, описывают дизъюнкцией элементарных конъюнкций СДНФ. И наоборот, множество клеток карты Карно, где f=0, описывают конъюнкцией элементарных дизъюнкций СКНФ.

Левый край строки карты Карно примыкает к правому, а верхний соответствующего столбца - к нижнему. Если карту Карно свернуть в трубку, то крайние клетки отличаются между собой значением только одной двоичной переменной (см. рис. 6.20).

Для f(x1, x2, x3, x4)

X1

Для f(x1, x2, x3)

X2

X1

X2

X4

X3

X3

Для f(x1, x2, x3, x4, x5, x6)

X5

X5

X1

X2

X6

X4

X6

X3

Рис. 6.21. Карты Карно (x1, x2, x3), (x1, x2, x3, x4) и (x1, x2, x3, x4, x5, x6)

Любые смежные клетки карты Карно также различаются между собой только одной двоичной переменной. Так как смежные и крайние клетки карты Карно различаются между собой значением только одной двоичной переменной, то их можно “склеить” и описать сокращёнными нормальными формами формул, воспользовавшись законами противоречия и дистрибутивности. При объединении двух смежных клеток карты сокращённая конъюнкция (или дизъюнкция) имеют (n-1) двоичную переменную. При объединении четырёх клеток формируется сокращенная нормальная форма, содержащая (n-2) двоичных переменных, а при объединении восьми - (n-3) двоичных переменных.

Пусть булева функция четырех двоичных переменных задана таблицей 6.43 и отображена на карте Карно (см. рис.6.22).

Таблица 6.43.
x1	x2	x3	x4				x 1
0	0	0	0	0		x2	1	1	0	0
1	0	0	0	0			*	1	1	1	x4
0	1	0	0	0			0	0	1	1
1	1	0	0	1			0	*	0	0
0	0	1	0	0				x3
1	0	1	0	*			Рис 6.22. Карта Карно
0	1	1	0	0
1	1	1	0	1
0	0	0	1	1
1	0	0	1	0
0	1	0	1	1
1	1	0	1	*
0	0	1	1	1
1	0	1	1	0
0	1	1	1	1
1	1	1	1	1

Анализ карты показывает, что в четырех смежных клетках, описываемых кодами 0111, 0011, 0101 и 0001, булева функция имеет значение “1” ”.

Следовательно, =1=x₁x₂x₃x₄x₁x₂x₃x₄ x₁x₂x₃x₄ x₁x₂x₃x₄=x₁x₃x₄(x₂x₂)x₁x₃x₄(x₂x₂)= x₁x₃x₄x₁x₃x₄ =x₁ x₄(x₃x₃)=x₁ x₄

В четырех крайних по вертикали клетках, описываемых кодами 0110, 0100, 0010 и 0000 – значение ”0”.

Следовательно, =0=(x₁x₂x₃x₄)(x₁x₂x₃x₄)(x₁x₂x₃x₄)(x₁x₂x₃x₄)= =((x₁x₂x₄)x₃x₃)((x₁x₂x₄)x₃x₃)=(x₁x₂x₄)(x₁x₂x₄)= (x₁x₄)x₂x₂=(x₁x₄).

Есть по две смежных клетки, имеющих одинаковые значения функции.

Например, для =1 это клетки, имеющие коды 1100 и 1110, 1110 и 1111, 1111 и 0111, для =0 - это 1000 и 1001, 1001 и1011, 1000 и 0000.

Булевы функции для этих пар клеток могут быть описаны сокращенными нормальными формами:

=1=x₁x₂x₄ x₁x₂x₃x₂x₃x₄,

=0=(x₁x₂x₃)(x₁x₂ x₄)(x₂x₃x₄).

Множество клеток, в которых булева функция имеет значение “0” или “1”, позволяет сформировать минимальную ДНФ или КНФ из числа сокращенных. На рис.6.23 узором выделены возможные варианты минимальных ДНФ и КНФ.

a )	x 1						c)	x 1
x2	1	1	0	0			x2	1	1	0	0
	*	1	1	1	x4			*	1	1	1	x4
	0	0	1	1				0	0	1	1
	0	*	0	0				0	*	0	0
		x 3							x 3
b)	x 1						d)	x 1
x2	1	1	0	0			x2	1	1	0	0
	*	1	1	1				*	1	1	1	x4
	0	0	1	1				0	0	1	1
	0	*	0	0				0	*	0	0
		x 3							x 3

Рис. 6.23. Карты Карно для таблицы 6.43.

Минимальные ДНФ:

для карты а) ^min(x₁, x₂, x₃, x₄)=x₁x₄x₁x₂x₄ x₁x₂x₃ ,

для карты b) ^min(x₁, x₂, x₃, x₄)=x₁x₄x₁x₂x₄x₂x₃x₄.

Минимальные КНФ:

для карты c) ^min(x₁, x₂, x₃, x₄)=(x₁x₄)(x₁x₂x₄) )(x₁x₂x₃),

для карты d) ^min(x₁, x₂, x₃, x₄)=(x₁x₄)(x₁x₂x₄)(x₂x₃x₄).

В двух клетках карты не определены значения булевой функции (помечены знаком “*”). Анализ позволяет допустить для кода 1101 значение f=1, для кода 1010 значение f=0.

Тогда минимальная ДНФ ^min(x₁, x₂, x₃, x₄)=x₁x₄x₁x₂,

Минимальная КНФ ^min(x₁, x₂, x₃, x₄)=(x₁x₄)(x₁x₂).