3.4. Операции над графами

Выделяют два класса операций: унарные операции над одним графом и бинарные операции над двумя графами.

3.4.1. Унарные операции

Унарные операции позволяют находить дополнительный граф, вводить и удалять вершины и ребра, объединять и расщеплять вершины, определять основные числа (связность, плотность, устойчивость, цикломатику и раскраску вершин и ребер и т.п.).

3.4.1.1 Поиск дополнительного графа

Для формирования дополнительного графа G=<X,r> необходимо найти дополнение отношения r по матрице смежности графа G=<X, r>:

1, если r(i, j)=0,

r(i, j)=

0, если r(i, j)=1

и построить граф, опираясь на исходное множество вершин.

На рис. 3.4 дан граф и его дополнение. Ниже приведены матрица смежности графа G и матрица смежности графаG.

r	x1	x2	x3	x4	x5		r	x1	x2	x3	x4	x5
x1	0	1	1	0	0		x1	1	0	0	1	1
x2	1	0	0	1	1		x2	0	1	1	0	0
x3	1	0	0	0	0		x3	0	1	1	1	1
x4	0	1	0	0	1		x4	1	0	1	1	0
x5	0	1	0	1	0		x5	1	0	1	0	1

3.4.1.2. Введение и удаление вершин графа

Если добавить вершину x_i в граф G=<X, r>, то для каждой новой вершины следует найти все инцидентные ей ребра (x_i, x), где xX. Для этого удобно использовать матрицу инциденции, каждая строка которой для контроля содержит ровно две “1”. В результате получен новый граф G’=<X’, r’>, где X'=Xx_i, r’=r{(x_i, x)}.

Если необходимо удалить хотя бы одну вершину x_i графа G=<X, r>, то следует удалить все ребра, инцидентные данной вершине. Для этого также удобно использовать матрицу инциденции, каждая строка которой для контроля содержит ровно две “1”. В результате будет получен новый граф G’=<X’, r’>, где X'=X\x_i, r’=r\{(x_i, x), xX }.

3.4.1.3. Стягивание вершин графа

Если G=<X, r> содержит клику G₁=<X_1, r₁>, где X₁X, r₁r, то можно заместить G₁ вершиной x_ и получить граф G'=<X’, r’>, где X’=x_X\X₁ и r’={r(x_s, x_), где x_sX\X₁}

r\{r₁r(x_t, x_s), где x_tX₁ и x_sX\X₁}.

Если в графе G'=<X’, r’> необходимо вершину x_ размножить {x_}X’, то будет сформирован граф G=<X, r>, где

X=X’{x_} и r=r’{(x’, x_), где x’X’\x_}{(x_i, x_j), где x_i, x_j{x}}.

Пример: на рис. 3.15а) дан граф G, а на рис. 3.15b) граф G’. Выполнить стягивание клики G₁ в вершину x и замену вершины x кликой G₁.

r	x1	x2	x3	x4	x5	x6		r’	x1	x2	x3	x
x1	0	1	0	1	0	0		x1	0	1	0	1
x2	1	0	1	0	0	0		x2	1	0	1	0
x3	0	1	0	0	0	1		x3	0	1	0	1
x4	1	0	0	0	1	1		x	1	0	1	0
x5	0	0	0	1	0	1
x6	0	0	1	1	1	0