1.5. Булева алгебра

Если элементы множества X принимают значения из множества {0, 1} и упорядочены отношением (x_i, x_i), то

а)операцию поиска верхней грани называют дизъюнкцией, оператор которой обозначают так: “”, т.е. SupX=(x_ix_j),

b) операцию поиска нижней грани называют конъюнкцией, оператор которой обозначают “” или “”, т. е. Inf X=(x_ix_j) или

Inf X=(x_ix_j).

с) операцию поиска дополнения элемента x на множестве

{0, 1} называют отрицанием, оператор которой обозначают “ “ или “ “, т. е. not(x)=x или not(x)=x.

Алгебра, использующая операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания над множеством, элементы которого принимают значения из множества {0, 1}, называется булевой алгеброй в часть английского математика Дж. Буля:

A_.=<X, , ,  , 0, 1>,

где X – носитель алгебры, а {, , } - сигнатура алгебры.

Операторы конъюнкции, дизъюнкции и отрицания называют также логическими связками.

1.5.1. Булевы операции

Дизъюнкция (x₁x₂) есть бинарная операция, значение которой равно 0 в том и только в том случае, когда оба операнда равны 0.

Схема операции имеет вид: f(x_i, x_j)=disjunction(х_i, х_j).

	таблица 1.10.
		xi	xj	xixj
		0	0	0
		0	1	1
		1	0	1
		1	1	1

Операцию дизъюнкции можно выполнять на произвольном числе элементов множества X.

Например,

f(х₁, х₂,..х_n)= (х₁х₂...х_n)= _i=1ⁿх_i.

Конъюнкция (x₁x₂) есть бинарная операция, значение которой равно 1 в том и только в том случае, когда оба операнда равны 1.

Схема операции имеет вид: f(x_i, x_j)=conjunct(х₁, х₂).

О

таблица 1.11
	xi	xj	xixj
	0	0	0
	0	1	0
	1	0	0
	1	1	1

перацию конъюнкции можно выполнять на произвольном числе элементов множества X.

Например,

f (х₁, х₂, ..х_n)= (х₁х₂..х_n)=_i=1ⁿх_i,

Отрицание x есть унарная операция, значение которой

противоположно значению операнда. Схема операции имеет вид: f(x)=not(x).

таблица 1.12
	x	x
	1	0
	0	1

О перацию отрицания можно распространить на произвольные формулы булевой алгебры. Например,

f(x₁,x₂,..x_n)=(x₁х₂...х_n)=(x₁х₂...х_n), f(x₁, x₂,..x_n)=(х₁х₂...x_n)=(х₁х₂...x_n ).