Вопросы и задачи

1.1.1. Верны ли выражения:

а) {1, 2}{{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2};

b) {{1, 2}, {2, 3}}={1, 2, 3};

c) {1, 2}{{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2};

d) если АВ и ВС, то АС;

e) если А, то А=;

f) если UA, то U=A;

g) ={}.

1.1.2. Перечислите элементы множеств

а) Х={х| Р(х):-(х2-7х+6=0)};

b) Х={х| Р(х):-(х2-1=0)}.

1.1.3. Верно ли, что А=В, если

а) А={2, 5, 4}, B={5, 4, 2};

b) A={1, 2, 4, 2}, B={1, 4, 2};

c) A={2, 4, 5}, В={2, 4, 3};

1.2.1. Даны множества X={1, 2, 3, 4, 5, 6}, Y={2, 4, 6} и элементы прямого произведения {(1, 2), (2, 2), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (5, 2)}(XY). Что это: соответствие или отображение? Укажите области отправления и прибытия, определения и значений.

1.2.2. Найти область определения и значения для отображения

а) h={(x, y)|P(x, y):-” х делит y без остатка”; x, y{1, 2,..10}};

b) h={(x, y)|P(x, y):-“наименьшее значение x для условия 2x3y при знчениях x, y{1, 2,..10}}.

1.2.3. Пусть Х - множество всех прямых на плоскости. Являются ли эквивалентными отношение параллельности и отношение перпендикулярности прямых?

1.3.1. Какими свойствами обладают отношения r₁, r₂, r₃:

r1	x1	x2	x3	x4		r2	x1	x2	x3	x4		r3	x1	x2	r3	r4
x1	1	0	1	0		x1	0	1	0	1		x1	1	1	1	0
x2	0	1	1	1	;	x2	1	0	1	0	;	x2	0	1	0	1
x3	1	1	1	0		x3	0	1	0	1		x3	0	1	1	1
x4	0	1	0	1		x4	1	0	1	0		x4	0	1	0	1

1.5.1 Найти по таблице 1.15 алгебраическое выражение для функции:

1. f=f₈(f₁(x₁;x₂);f₄(x₁;x₂));

2. f=f₁₂(f₁₁(f₁₂(x₁;x₂);f₄(x₁;x₂)));

3. f=f₁₂(f₁₁(f₁₂(x₁;x₂);f₄(x₁;x₂))).

2. Выполнить эквивалентные преобразования формул:

1. (x₁®x₂)«(x₁®x₃);

2. x₁Å(x₂®x₃);

3. (x₁Åx₂)®(x₁Åx₃).

2. Верны ли записи формул:

1. x₁Åx₂(x₃®x₄®)Úx₁);

2. (x₁ ×x₂Ú¯x₃)Åx₂;

3. x₁ ×((x₂¯ x₃½)®x3.

2. Построить таблицы функций, заданных формулами:

1. F=(x₁®x₂)Å(x₂®x₃)Å(x₃®x₁);

2. F=x₁®(ùx₃«(x₂Åx₁×x₃));

3. F=(((x₁½x₂)¯x₃)½x₂)¯x₃.

2. Преобразовать формулы к виду СДНФ и СКНФ:

1. F=(x₁Úx₂×`x₃)×(x₁Úx₂);

2. F=((x₁®x₂×x₃)×(x₂×x₄Åx₃)®x₁×`x<sub>4</sub>)Ú`x₁);

3. F=(x₁Úx₂×`x<sub>3</sub>×x<sub>4</sub>)×((`x₂Úx₄)®x₁×`x<sub>3</sub>×`x₄)Úx₂×x₃)Ú(`x<sub>1</sub>Ú`x₄).

1.5.6 Самодвойственны ли функции:

1. f(x₁; x₂; x₃)=ù((x₁«x₂ )®x₁×x₃)®(x₂®x₃);

2. f(x₁; x₂; x₃)=x₁Å x₂Å x₃Å x₁×x₂Å x₁×x₃Å x₂×x₃Å x₁×x₂×x₃;

3. f(x₁; x₂; x3)=(x1¯x2)®(x1Åx3).

7. Какие функции являются монотонными:

1. f(x₁; x₂)=(x₁®(x₁®x₂));

2. f(x₁; x₂)=(x₁®(x₂®x₁));

3. f(x₁; x₂)=x₁×x₂×(x₁Å x₂).

1.5.8 Линейны ли функции:

1. f(x₁; x₂; x₃)=(x₁×x₂Ú`x<sub>1</sub>×`x₂)Åx₃;

2. f(x₁; x₂)=x₁×x₂×(x₁Å x₂);

3. f(x₁; x₂; x₃)=(x₁®x₂)×(x₂®x₁)«x₃.

1.6.1. Приняв множество первых 20 чисел в качестве универсального множества, записать следующие подмножества: А - множество четных чисел, В - множество нечетных чисел, С - множество квадратов чисел, D - множество простых чисел.

Выполните операции (АВ), (АВ), (АС), (АD), (C\A), (C\D). Почему (AB)=, (AC), (AB)\C=?

1.6.2. Докажите тождества:

а) (AB)=(AB);

b) A(AB)=A;

c) (A \ (A \ B)=AB);

d) (AB)(CD)=(AC)(BC)(AD)(BD);

e)(AB) \ (AC)=(AB) \ C;

f)A \ (BC)=(A\ B)(A \ C).

1.6.3. Для отображений, заданных таблицами, выполнить операции объединения, пересечения, разности и симметрической разности.

h1	y	x1	x2	x3		h2	y	x1	x2	x3
	а	1	c	3			a	3	c	1
	b	2	b	2			b	2	b	2
	с	3	a	1			c	1	a	3
	d	1	c	1			d	1	c	1

1.6.4. Выполнить операцию композиции отображений h₁ и h₂.

h1	y	x1	x2	x3		h2	z	y
	2	a	b	c			3	2
	4	b	c	a			5	6
	6	c	a	b			7	4

1.6.5. Для отношений, заданных таблицами, выполнить операции объединения, пересечения, разности и симметрической разности.

r1	x1	x2	x3	x4		r2	x1	x2	x3	x4
x1	1	0	0	1		x1	0	1	0	1
x2	0	1	1	0		x2	1	0	1	0
x3	0	1	1	0		x3	0	1	0	1
x4	1	0	0	1		x4	1	0	1	0

1.6.6. Выполнить операцию композиции для отношений

r1	x1	x2	x3	x4			r2	x2	x4	x6	x8
x1	0	0	1	1			x2	1	0	1	0
x2	1	0	1	0			x4	0	1	0	1
x3	1	1	0	0			x6	1	0	1	0
x4	1	0	1	0			x8	0	1	0	1

1.6.7. Решить системы уравнений

а ) (A\X)=B;

(X\A)=C, где BA, AC=.

b ) (AX)=B;

(AX)=C, где BAC.

1.7.1. Пусть U={x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇}, A’={0,3/x₁; 0,8/x₃; 0,4/x₆} и B’={0,9/x₁; 0,2/x₂; 0,4/x₃; 0,5/x₅}. Найти (A’B’), (A’B’), A, B, (A’\B’), (B’\A’), (А’В’).

1.7.2. Даны A’={0,3/x₁, 0,8/x₂} и B’={0,7/y₁, 0,3/y₂, 0,9/y₃). Найти (A’B’).

1.7.3. Даны нечеткое множество A’={0,3/x₁, 0,2/x₂, 0,6/x₃, 0,7/x₄} и нечеткое отображение h’={0,4/(x₁, y₁), 0,3/(x₂, y₁), 0,3/(x₃, y₂), 0,8/(x₄, y₂)}. Найти нечеткое множество B’, как образ A’ по отображению h’.

1.7.4. Даны нечеткие отношения r’₁ и r’₂. Определить степени рефлексивности, антирефлексивности, симметричности, антисимметричности и транзитивности.

r’1	x1	x2	x3	x4		r’2	x1	x2	x3	x4
x1	0,1	1,0	0,2	0,3		x1	0,9	0	0,8	1,0
x2	0,5	1,0	0	0		x2	1,0	1,0	1,0	1,0
x3	0,4	0,9	0	1,0		x3	0,6	1,0	1,0	0,3
x4	0	0,8	0,1	1,0		x4	1,0	0,7	1,0	0