- •Оглавление
- •Глава 1. Алгебраические системы 17
- •Глава 2. Элементы комбинаторики 88
- •Глава 3. Основы теории графов 101
- •Глава 4. Основы математической логики 169
- •4.1.1.4. Эквивалентные преобразования формул 179
- •4.1.4. Выполнить подстановку: 247
- •Глава 5. Основы теории алгоритмов 252
- •Глава 6. Конечные автоматы 289
- •Введение
- •Глава 1. Алгебраические системы
- •1.1 Множества
- •1.1.1. Четкие множества
- •1.1.2. Нечеткие множества
- •1.2. Соответствия, отображения и функции
- •1.2.1. Четкие отображения и функции
- •1.2.2. Нечеткие отображения
- •1.3. Отношение
- •1.3.1. Четкие отношения
- •1.3.2. Нечеткое отношение
- •1.4. Элементы общей алгебры
- •1.5. Булева алгебра
- •1.5.1. Булевы операции
- •1.5.2. Законы булевой алгебры
- •1.5.3. Формула булевой функции
- •1.5.4. Описание булевой функции
- •1.5.5. Суперпозиция булевых функций
- •1.5.6. Свойства булевых функций
- •1.5.6.1. Самодвойственные булевы функции
- •1.5.6.2. Монотонные булевы функции
- •1.5.6.3. Линейные булевы функции
- •1.5.6.4. Функции, сохраняющие “0”
- •1.5.6.5. Функции, сохраняющие “1”
- •1.5.6.6. Функционально полные системы
- •1.5.7. Разложение булевых функции
- •1.5.7.1. Днф булевой функции
- •1.5.7.2. Кнф булевой функции
- •Алгоритм преобразования формулы к скнф:
- •1.5.8. Минимизация булевых функций.
- •1.5.8.1.Минимизация днф булевой функции
- •1.5.8.2. Минимизация кнф булевой функции
- •1.6. Алгебра четких множеств
- •1.6.1. Операции над множествами
- •1.6.2. Законы алгебры множеств
- •1.6.3. Эквивалентные преобразования формул
- •1.6.4. Композиция отображений и отношений
- •1.6.5. Поиск неизвестного множества
- •1.7. Алгебра нечетких множеств
- •1.7.1. Операции над нечеткими множествами
- •1.7.2. Композиция нечетких отображений
- •1.7.3. Композиция нечетких отношений
- •1.7.4. Свойства нечетких отношений
- •Вопросы и задачи
- •Глава 2. Элементы комбинаторики
- •2.1. Размещение из n элементов по k
- •2.2. Перестановка элементов
- •2.3 Сочетание из n элементов по k
- •2.4. Разбиение множества
- •2. 5 Правила комбинаторики
- •Вопросы и задачи
- •Глава 3. Основы теории графов
- •3.1. Граф и его характеристики
- •3.2. Описание графа
- •3. 3. Числа графа
- •3.4. Операции над графами
- •3.4.1. Унарные операции
- •3.4.1.1 Поиск дополнительного графа
- •3.4.1.2. Введение и удаление вершин графа
- •3.4.1.3. Стягивание вершин графа
- •3.4.1.4. Введение и удаление ребер графа
- •3.4.1.5. Поиск плотности и неплотности графа
- •3.4.1.6. Поиск числа компонент связности графа
- •3.4.1.7. Поиск устойчивости графа
- •3.4.1.8. Поиск цикломатического числа графа
- •3.4.1.9. Поиск хроматического числа графа
- •3.4.2. Бинарные операции
- •3.4.2.1. Объединение графов
- •3.4.2.2. Пересечение графов
- •3.4.2.3. Композиция графов
- •3.4.2.4. Соединение графов
- •3.4.2.5. Прямое произведение графов
- •3.4.2.6. Изоморфизм графов
- •3.5. Некоторые алгоритмы на графах
- •3.5.1. Построение покрывающего остова
- •3.5.2. Построение остова минимального веса
- •3.5.3. Поиск кратчайших путей в сети.
- •3.5.4. Поиск максимального потока в сети
- •3.5.5. Метод критического пути в управлении
- •3.6. Нечеткие графы
- •Вопросы и задачи
- •Глава 4. Основы математической логики
- •4.1. Логика высказываний
- •4.1.1. Алгебра высказываний
- •4.1.1.1. Логические операции
- •4.1.1.2. Правила записи сложных формул.
- •4.1.1.3. Законы алгебры высказываний
- •4.1.1.4. Эквивалентные преобразования формул
- •4.1.1.5. Нормальные формы формул
- •4.1.2. Исчисление высказываний
- •4.1.2.1. Интерпретация формул
- •4.1.2.2. Аксиомы и правила введения и удаления логических связок
- •4.1.2.3. Метод дедуктивного вывода
- •4.1.2.4. Принцип резолюции
- •4. 2. Логика предикатов
- •4.2.1. Алгебра предикатов
- •4.2.1.1. Законы алгебры предикатов
- •4.2.1.2. Предваренная нормальная форма формулы
- •4.2.1.3 Сколемовская стандартная форма формулы
- •4. 2. 2. Исчисление предикатов
- •4.2.2.1. Правила подстановки
- •4.2.2.2. Правила введения и удаления кванторов
- •4.2.2.3. Правила заключения
- •4.2.2.4. Метод дедуктивного вывода
- •4.2.2.5. Принцип резолюции
- •4.2.2.6. Логическое программирование
- •4.3. Логика реляционная
- •4.3.1 Реляционная алгебра
- •4.3.1.1. Унарные операции
- •4.3.1.2. Бинарные операции
- •4.3.1.3. Правила реляционной алгебры
- •4.3.2. Реляционное исчисление
- •4.3.3. Языки реляционной логики
- •4.4. Нечеткая логика
- •4.4.1. Нечеткое исчисление
- •4.4.2. Экспертные системы
- •Вопросы и задачи
- •Глава 5. Основы теории алгоритмов
- •5.1. Рекурсивные функции
- •5.1.1. Базовые функции
- •5.1.2. Элементарные операции
- •5.2. Машина Тьюринга
- •5.2.1. Описание машины Тьюринга
- •5.2.2. Примеры машин Тьюринга
- •5.2.3. Композиция машин Тьюринга
- •5.3. Нормальные алгоритмы Маркова
- •5.4 Сложность вычислений
- •Вопросы и задачи
- •Глава 6. Конечные автоматы
- •6.1. Абстрактный автомат
- •6.1.1. Типы конечных автоматов
- •6.1.2. Описание автоматов
- •6.1.3. Автоматное моделирование алгоритмов
- •6.1.3.1. Автомат Мили - модель управляющего автомата
- •6.1.3.2. Автомат Мура - модель управляющего автомата
- •6.1.3.3. Микропрограммный автомат
- •6.1.4. Эквивалентность автоматов
- •6.1.5. Эквивалентность внутренних состояний автомата
- •6.1.5.1. Детерминированный автомат
- •6.1.5.2. Недетерминированный автомат
- •6.2. Структурный автомат
- •6.2.1. Произведение автоматов
- •6.2.1.1. Последовательное соединение автоматов
- •6.2.1.2. Параллельное соединение автоматов
- •Обратная связь автоматов
- •6.2.3. Сумма автоматов
- •6.2.4. Структурный автомат и кодирование
- •6.3. Логическое проектирование автоматов
- •6.3.1. Кодирование алфавитов автомата
- •6.3.2. Автоматы без “памяти”.
- •6.3.2.1. Формирование оператора
- •6.3.2.2. Формирование системы операторов
- •Логическая схема комбинационного автомата
- •6.3.3. Автоматы с “памятью”
- •6.3.3.1. Формирование оператора
- •6.3.3.2. Формирование оператора
- •.3.3.3. Логическая схема автомата с “памятью”
- •Вопросы и задачи
- •Литература
- •Предметный указатель
4.2.2.3. Правила заключения
а ) если F1 и (F1F2) выводимые формулы в исчислении предикатов, то F2 также выводима.
Это - правило modus ponens (m.p): F1; (F1F2)
F2.
b) если F2 и (F1F2) выводимые формулы в исчислении предикатов, то F1 также выводима. Это - правило modus tollens (m.t):
F2; (F1F2)
F1.
Эти правила формируют схему вывода и позволяют, используя правила подстановки, введения и удаления кванторов, делать вывод об истинности заключения.
4.2.2.4. Метод дедуктивного вывода
В логике предикатов вывод заключения формируется так же, как в исчислении высказываний. Все правила вывода логики высказываний включены в множество правил логики предикатов.
Пример: “Таможенные чиновники обыскивают каждого, кто въезжает в страну, кроме высокопоставленных лиц. Если некоторые люди способствуют провозу наркотиков, то на внутреннем рынке есть наркотик. Никто из высокопоставленных лиц не способствует провозу наркотиков. Следовательно, некоторые из таможенников способствуют провозу наркотиков?”
Пусть P1(x):=”x - таможенный чиновник”, P2(x,y):=”x обыскивает y”, P3(y):=”y въезжает в страну”, P4(y):=”y – высокопоставленное лицо”, P5(y):=”y способствует провозу наркотиков”.
y(P3(y)P4(y)x(P1(x)P2(x,y)));
y(P3(y)P5(y));
y(P3(y)P4(y)P5(y));
x(P1(x)P5(x)).
F1=y(P3(y)P5(y)) - посылка;
F2=P3(a)P5(a) - заключение по F1 и правилу П4 ИП;
F3= P3(a) - заключение по F2 и правилу П2 ИВ;
F4= P5(a) - заключение по F2 и правилу П2 ИВ;
F5=y(P3(y)P4(y)P5(y)) - посылка;
F6=P3(t)P4(t)P5(t) - заключение по F5 и правилу П2 ИП;
F7=P3(t)P4(t)P5(t) - заключение по F6 и ее эквивалентным преобразованиям;
F8=P4(a) - заключение по F7 при t=a;
F9=y(P3(y)P4(y)x(P1(x)P2(x,y))) - посылка;
F10=yx(P3(y)P4(y)(P1(x)P2(x,y))) - заключение по F9 и правилу П6 ИП;
F11=P3(a)P4(a)P1(t)P2(t,a) - заключение по F10 и правилу П2 ИП;
F12= P3(a)P4(a) - заключение по F3 и F8 и правилу введения логической связки конъюнкции П1. ИВ;
F13=(P1(t)P2(t,a)) - заключение по F11 и F12 и правилу modus ponens;
F14= P1(t) - заключение по F13 и правилу удаления логической связки конъюнкции П2. ИВ;
F15=P5(a)=P5(t) - заключение по F4 и замене предметной постоянной термом;
F16= P1(t)P5(t) - заключение по F14 и F15 и правилу введения логической связки конъюнкция П1. ИВ;
F17=x(P1(x)P5(x)) - заключение по F16 и правилу введения квантора существования П3. ИП.
Для демонстрации процесса вывода на рис. 4.8 приведен граф.
Так доказана истинность формулы x(P1(x)P5(x)) при заданном наборе посылок и правил вывода.
Пример: доказать истинность заключения
x(y(P1.(x, y)P2(y))y((P3(y) P4.(x, y))); x(P3(x))
x(P3(x))xy(P1.(x, y)(P2(y))).
F1=x(y(P1.(x, y)P2(y))y((P3(y) P4.(x, y))) - посылка;
F2= x(P3(x)) - посылка;
F4=P3(t) - заключение по F3 и правилу П2;
F5=P3(t)P4.(x, t) - заключение по F4;
F6=y(P3(y)(P4 (x, y))) - заключение по F5 и правилу П1;
F7=y(P3(y)P4(x; y)) - заключение по F6 и правилу П5;
F3=x(P3(x)) - заключение no F2 и правилу П5;
F8=y(P1.(t, y)P2(y))y(P3(y)P4.(t, y)) - заключение по F1 и правилу П2;
F9=y(P1.(t, y)P2(y)) - заключение пo F7 и F8 при t=x и правилу m. t.;
F10=y(P1.(t, y)P2(y)) - заключение по F9 и правилу П5;
F11=y(P1.(t; y)(P2(y))) - заключение по F10;
F12=xy(P1.(x; y)(P2(y)) - заключение по F11 и правилу П1;
F13=x(P3(x))xy(P1.(x, y)(P2(y))) – заключение по F2 и F12 и правилу m. p.
Так доказана истинность x(P3(x))xy(P1.(x, y)(P2(y))) при заданном наборе посылок и правил вывода.