1.1.2. Нечеткие множества

Часто используют неполное или нечеткое описание объекта. Например, "большое (какое?) входное сопротивление осциллографа", "малое (какое?) напряжение на базе транзистора", "постоян­ное (какое?) число оборотов двигателя" не дают числовой характеристики указанного атрибута объекта.

Для подобных задач разработана теория нечетких множеств (fuzzi set).

Пусть дано универсальное множество U. Если на этом множестве задать подмножество X’, имя которого недостаточно четко определено, то принадлежность элементов uU множеству X’ может быть описана функцией принадлежности - _x’(u), как субъективная мера.

Значение функции _x’(u) называют степенью принадлежности и определяют на интервале [0, 1], т.е.

_x’ (u_i): U [0, 1].

Итак, нечеткое множество есть

X’={_x’(u₁)/u₁, _x’(u₂)/u₂,... _x’(u_n)/u_n},

где _x’(u_i)[0;1] – степень принадлежности элемента u_iU нечеткому множеству X’.

Носителем нечеткого множества X’ являются элементы “четкого” подмножества XU, т. е.

X={u₁, u₂,...u_n}U, если _x’(u_i)0 для i=1, 2,..n.

Если для некоторого u_iU имеем _x’(u_i)=1, то элемент “четко” принадлежит множеству X’. Если все элементы носителя X имеют значение _x’(u_i)=1, то задано “четкое” подмножество X' множества U.

Если для некоторого u_iU имеем _x’(u_i)=0, то элемент “четко” не принадлежит множеству X’. Если все элементы носителя X имеют значение _x’(u_i)=0, то задано “четкое” пустое множество, т. е. X’=.

Пример: дано 10 дискет и эксперт должен сформировать множество подмножеств, удовлетворяющих условию “выбрать несколько дискет”. Множество всех подмножеств этих дискет содержит пустое множество, одно-, двух- трех- и т.д. до десятиэлементного подмножества. Так задано универсальное множество U={, 1, 2, 3, .. 10}.

Для подмножеств, содержащих нуль, один, два, половину или все шары, эксперт определил значение функции принадлежности равным нулю, так как можно было бы сказать просто: “взять половину дискет” или “взять две дискеты ” и т.д. Для подмножеств, содержащих три, восемь или девять дискет, эксперт определил значение функции принадлежности равным 0,6, а для подмножеств, содержащих четыре, шесть или семь дискет, - равным 0,8. То есть эксперт сформировал нечеткое множество по условию “несколько дискет”:

X’={0,6/3; 0,8/4; 0/5; 0,8/6; 0,8/7; 0,6/8; 0,6/9}.

Такова была субъективная оценка принадлежности каждого подмножества булеана нечеткому понятию “несколько дискет”.

Носителем этого подмножества является X={3, 4, 6, 7, 8, 9}.

Пример; дан электрический двигатель и эксперт должен отнести значения скорости вращения работающего двигателя в четыре класса: X’₁ ="нулевая скорость вращения", X’₂ - "малая", X’₃ - “средняя" и X’₄ - “большая".

Пусть скорость вращения двигателя изменяется в пределах от 0 до 3150об/мин..

Так как понятия “нулевая”, “малая”, “средняя” и “большая” не имеют числового значения, то их называют лингвистическими переменными, а их множество, заданное также лингвистической переменной, - терм-множеством.

Например, терм-множество “скорость вращения двигателя”, а лингвистические переменные: “нулевая”, “малая”, “средняя” и “большая”.

таблица 1.1.

скорость (об/мин)	степень принадлежности
	“Нулевая”	”Малая”	“Средняя”	“Большая”
0	1	0	0	0
450	0,33	0,33	0	0
900	0	1	0	0
1350	0	0,33	0,33	0
1800	0	0	1	0
2250	0	0	0,33	0,33
2700	0	0	0	1
3150	0	О	0	1

Эксперт разбил диапазон изменения скорости на восемь поддиапазонов, установил два уровня принадлежности: 0,33 и 1,00 и составил таблицу принадлежности каждому классу (см. табл. 1.1). В этом случае нечеткие множества описаны так:

X’₁ ("нулевая") = {I/0, 0,33/450};

X’₂ ("малая") = {0,33/450, 1/900, 0,33/1350};

X’₃ ("средняя")={0,33/1350, 1/1800, 0,33/2250};

X’₄ ("большая") = {0,33/2250, 1/2700, 1/3150}.

Можно дать определение прямого произведения нечетких множеств также как и для четких множеств. Например, если даны универсальное множество U={u₁, u₂, u₃, u₄, u₅, u₆, u₇, u₈, u₉} и два нечетких подмножества: A’={0,6/ u₁, 0,4/ u₂, 0,8/ u₃ ,0,2/ u₄, 1,0/ u₅, 0,3/ u₆} и B’={0,9/ u₁, 0,4/ u₂, 1,0/ u₃, 0,7/ u₇,0,3/ u₈, 0,5/ u₉}, то прямое произведение нечетких подмножеств А’ и В’ есть нечеткое множество C’, состоящее из упо­рядоченных пар (u_i, u_j), первая компонента которых принадлежит множеству А’, а вторая - множеству В’, т. е.

C’={_С’ (u_i ,u_j)/ (u_i, u_j)| u_iA’ и u_jB’}=(А’В’).

Степень при­надлежности _С’(u_i; u_j) равна минимальному значению степени принадлежности _A’ (u_i) и _B’ (u_j), т.е

_С’ (u_i ,u_j) =(_A’ (u_i)_B’ (u_j) = min{_A’ (u_i); _B’ (u_j)}.

Для приведенных множеств A’ и B’ составлена таблица.

таблица 1. 2

C’= А’В’	uj =u1	uj =u2	uj =u3	uj =u7	uj =u8	uj =u9
ui=u1	0,6	0,4	0,6	0,6	0,3	0,5
ui=u1	0,4	0,4	0,4	0,4	0,3	0,4
ui=u3	0,8	0,4	0,8	0,7	0,3	0,5
ui=u4	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2
ui=u5	0,9	0,4	1,0	0,7	0,3	0,5
ui=u6	0,3	0,3	0,3	0,3	0,3	0,3

На множестве нечетких подмножеств операции включения одного нечеткого подмножества в другое и их сравнения будут рассмотрены в 1.7.