2.2. Перестановка элементов

Предельный случай размещения, когда число ячеек, (стеллажей, дискет и т. п.) равно числу шаров (книг, файлов и т. п.). Эта операция активно применяется при сортировке и индексации данных.

Число перестановок равно (n)_n=n(n-1)...1=n!

Пример: дан массив букв {a, b, c, d}. Сформировать все возможные перестановки.

Число перестановок равно 4! = 4321=24.

Множество комбинаторных объектов:

a b c d b a c d c a b d d a b c

a b d c b a d c c a d b d a c b

a c b d b c a d с b a d d b a c

a c d b b c d a c b d a d b c a

a d b c b d c a. c d a b d c a b

a d c b b d c a c d b a d c b a

2.3 Сочетание из n элементов по k

Сочетание без повторений. Пусть дано множество Х={x₁;x₂;...;x_n} и множество Y={y₁; y₂;...;y_k}. Сколько существует подмножеств множества Х мощности k, отличающихся между собой хотя бы одним элементом?

Число сочетаний из n по k без повторения определяют по формуле:

Пример: пусть дано множество {a, b, c, d}. Сколько и какие подмножества можно сформировать для n=4 и k=3?

Число сочетаний из 4 по 3 без повторения равно

,

а множество комбинаторных объектов:

C43={{a, b, c}; {a, b, d}; {a, c, d}; {b, c, d}}.

Пример: каждому играющему в домино выдается 7 костей из 28. Сколько существует различных комбинаций костей, которые игрок может получить в начале игры?

Число возможных комбинаций в начале игры определяется числом сочетаний из 28 костей по 7, т. е. .

Сочетание с повторением. Отличием такой комбинаторной операции является возможность многократного использования в выборке, но не более k раз, одного и того же элемента множества Х. Число сочетаний с повторением равно:

,

а множество возможных комбинаторных объектов есть

С_{n повт}^k={{x₁, x₁, x₁,..}; {x₁, x₂, x₂,..}; {x₂, x₂, x₃,..}..}.

Пример: пусть Х={a, b, c, d}. Сколько и какие подмножества можно сформировать из четырех элементов по три с повторением?

Число сочетаний

а множество комбинаторных объектов:

С_3.²= {{a, a, a}; {b, b, b}; {c, c, c}; {d, d, d}; {a, a, b}; {a, a, c}; {a, a, d};

{ b, b, a}; {b, b, c}; {b, b, d}; { c, c, a}; { c, c, b}; {c, c, d}; {d, d, a,}; {d, d, b}; {d, d, c}; {a, b, c}; {a, b, d}; {a, c, d}; {b, c, d}}.

2.4. Разбиение множества

Число Стирлинга второго рода. Если Y есть набор подмножеств Y={Y₁;Y₂;...;Y_k}, то отображение множества Х={x₁;x₂;...;x_n} на Y определит разбиение множества X на подмножества Х₁;Х₂;...;Х_k, при выполнении следующих условий:

_i=1^kX_i=X;

X_iX_j=, для ij; 1i, jk;

X_i, для 1ik;

|X₁|+|X₂|+...+|X_k| = |X| = n.

Каждое подмножество Х_i называют блоком разбиения множества Х, а само разбиение обозначают B_k(Х)={Х₁; Х₂;...;Х_k}.

Число возможных разбиений множества Х на подмножества определяют числом Стирлинга второго рода S(n; k), где n - мощность множества X, а k –число формируемых подмножеств по правилу:

S(n; 0)=0 для n>0;

S(n; n)=1 для n0; S(n; k)=S(n-1; k-1)+tS(n-1; k) для 0<kn.

Пример: дано множество Х={a, b, c, d}. Выполнить его разбиение на два одноэлементных подмножества и одно двухэлементное, т.е. Y={Y₁, Y₂, Y₃}, где |Y₁|=1, |Y₂|=1, |Y₃|=2. Сколько и какие подмножества можно сформировать?

Число разбиений по формуле Стирлинга равно:

S(4, 3)=S(3, 2)+3S(3, 3)=S(3, 2)+3, S(3, 2)=S(2, 1)+2S(2, 2)=S(2, 1)+2; S(2, 1)=S(1, 0)+1S(1, 1)=0+1.

S(4, 3)=3+2+1=6,

а множество подмножеств есть:

B₃(4)={{{a}, {b}, {c, d}}; {{a}, {c}, {b, d}}; {{a}, {d}, {b, c}}; {{b}, {c}, {a, d}}; {{b}, {d}, {a, c}}; {{c}, {d}, {a, b}}}.

Пример: дано множество Х={a, b, c, d, e, f}. Разбить на два трехэлементных подмножества, т.е. Y={Y₁; Y₂}, где |Y₁|=3; |Y₂|=3. Сколько подмножеств можно сформировать?

Число таких разбиений по формуле Стирлинга равно:

S(6, 2)=S(5, 1)+2S(5, 2),

S(5, 2)=S(4, 1)+2S(4, 2),

S(5, 1)=S(4, 0)+1S(4, 1)= S(4, 1),

S(4, 2)=S(3, 1)+2S(3, 2),

S(4, 1)=S(3, 0)+1S(3, 1)= S(3, 1).

S(3, 2)=S(2, 1)+2S(2, 2)= S(2, 1)+2,

S(3, 1)=S(2, 0)+1S(2, 1)= S(2, 1),

S(2, 1)= S(1, 0)+1S(1, 1)=0+1=1.

S(6, 2)= 1+215=31.

Следовательно, существует 31 способ разбиения шестиэлементного множества на два трехэлементных подмножества.

Булеан множества. Множество подмножеств универсального множества U, включающее в себя пустое подмножество, одно-, двух- и т. д. до n-элементного подмножества, называют булеаном B(U). Каждое подмножество формируется сочетанием без повторения элементов универсального множества |U|=n по числу элементов формируемого подмножества i=0, 1, 2,..n.

, где i= 0, 1, 2,...n.

Пример: дано U={a, b, c, d}.

Булеан множества U есть B(U)={; {a}; {b}; {c}; {d}; {a, b};

{a, c}; {a, d}; {b, c}; {b, d}; {c, d}; {a, b, c}; {a, b, d}; {b, c, d}; {a, c, d}; {a, b, c, d}}.