- •Оглавление
- •Глава 1. Алгебраические системы 17
- •Глава 2. Элементы комбинаторики 88
- •Глава 3. Основы теории графов 101
- •Глава 4. Основы математической логики 169
- •4.1.1.4. Эквивалентные преобразования формул 179
- •4.1.4. Выполнить подстановку: 247
- •Глава 5. Основы теории алгоритмов 252
- •Глава 6. Конечные автоматы 289
- •Введение
- •Глава 1. Алгебраические системы
- •1.1 Множества
- •1.1.1. Четкие множества
- •1.1.2. Нечеткие множества
- •1.2. Соответствия, отображения и функции
- •1.2.1. Четкие отображения и функции
- •1.2.2. Нечеткие отображения
- •1.3. Отношение
- •1.3.1. Четкие отношения
- •1.3.2. Нечеткое отношение
- •1.4. Элементы общей алгебры
- •1.5. Булева алгебра
- •1.5.1. Булевы операции
- •1.5.2. Законы булевой алгебры
- •1.5.3. Формула булевой функции
- •1.5.4. Описание булевой функции
- •1.5.5. Суперпозиция булевых функций
- •1.5.6. Свойства булевых функций
- •1.5.6.1. Самодвойственные булевы функции
- •1.5.6.2. Монотонные булевы функции
- •1.5.6.3. Линейные булевы функции
- •1.5.6.4. Функции, сохраняющие “0”
- •1.5.6.5. Функции, сохраняющие “1”
- •1.5.6.6. Функционально полные системы
- •1.5.7. Разложение булевых функции
- •1.5.7.1. Днф булевой функции
- •1.5.7.2. Кнф булевой функции
- •Алгоритм преобразования формулы к скнф:
- •1.5.8. Минимизация булевых функций.
- •1.5.8.1.Минимизация днф булевой функции
- •1.5.8.2. Минимизация кнф булевой функции
- •1.6. Алгебра четких множеств
- •1.6.1. Операции над множествами
- •1.6.2. Законы алгебры множеств
- •1.6.3. Эквивалентные преобразования формул
- •1.6.4. Композиция отображений и отношений
- •1.6.5. Поиск неизвестного множества
- •1.7. Алгебра нечетких множеств
- •1.7.1. Операции над нечеткими множествами
- •1.7.2. Композиция нечетких отображений
- •1.7.3. Композиция нечетких отношений
- •1.7.4. Свойства нечетких отношений
- •Вопросы и задачи
- •Глава 2. Элементы комбинаторики
- •2.1. Размещение из n элементов по k
- •2.2. Перестановка элементов
- •2.3 Сочетание из n элементов по k
- •2.4. Разбиение множества
- •2. 5 Правила комбинаторики
- •Вопросы и задачи
- •Глава 3. Основы теории графов
- •3.1. Граф и его характеристики
- •3.2. Описание графа
- •3. 3. Числа графа
- •3.4. Операции над графами
- •3.4.1. Унарные операции
- •3.4.1.1 Поиск дополнительного графа
- •3.4.1.2. Введение и удаление вершин графа
- •3.4.1.3. Стягивание вершин графа
- •3.4.1.4. Введение и удаление ребер графа
- •3.4.1.5. Поиск плотности и неплотности графа
- •3.4.1.6. Поиск числа компонент связности графа
- •3.4.1.7. Поиск устойчивости графа
- •3.4.1.8. Поиск цикломатического числа графа
- •3.4.1.9. Поиск хроматического числа графа
- •3.4.2. Бинарные операции
- •3.4.2.1. Объединение графов
- •3.4.2.2. Пересечение графов
- •3.4.2.3. Композиция графов
- •3.4.2.4. Соединение графов
- •3.4.2.5. Прямое произведение графов
- •3.4.2.6. Изоморфизм графов
- •3.5. Некоторые алгоритмы на графах
- •3.5.1. Построение покрывающего остова
- •3.5.2. Построение остова минимального веса
- •3.5.3. Поиск кратчайших путей в сети.
- •3.5.4. Поиск максимального потока в сети
- •3.5.5. Метод критического пути в управлении
- •3.6. Нечеткие графы
- •Вопросы и задачи
- •Глава 4. Основы математической логики
- •4.1. Логика высказываний
- •4.1.1. Алгебра высказываний
- •4.1.1.1. Логические операции
- •4.1.1.2. Правила записи сложных формул.
- •4.1.1.3. Законы алгебры высказываний
- •4.1.1.4. Эквивалентные преобразования формул
- •4.1.1.5. Нормальные формы формул
- •4.1.2. Исчисление высказываний
- •4.1.2.1. Интерпретация формул
- •4.1.2.2. Аксиомы и правила введения и удаления логических связок
- •4.1.2.3. Метод дедуктивного вывода
- •4.1.2.4. Принцип резолюции
- •4. 2. Логика предикатов
- •4.2.1. Алгебра предикатов
- •4.2.1.1. Законы алгебры предикатов
- •4.2.1.2. Предваренная нормальная форма формулы
- •4.2.1.3 Сколемовская стандартная форма формулы
- •4. 2. 2. Исчисление предикатов
- •4.2.2.1. Правила подстановки
- •4.2.2.2. Правила введения и удаления кванторов
- •4.2.2.3. Правила заключения
- •4.2.2.4. Метод дедуктивного вывода
- •4.2.2.5. Принцип резолюции
- •4.2.2.6. Логическое программирование
- •4.3. Логика реляционная
- •4.3.1 Реляционная алгебра
- •4.3.1.1. Унарные операции
- •4.3.1.2. Бинарные операции
- •4.3.1.3. Правила реляционной алгебры
- •4.3.2. Реляционное исчисление
- •4.3.3. Языки реляционной логики
- •4.4. Нечеткая логика
- •4.4.1. Нечеткое исчисление
- •4.4.2. Экспертные системы
- •Вопросы и задачи
- •Глава 5. Основы теории алгоритмов
- •5.1. Рекурсивные функции
- •5.1.1. Базовые функции
- •5.1.2. Элементарные операции
- •5.2. Машина Тьюринга
- •5.2.1. Описание машины Тьюринга
- •5.2.2. Примеры машин Тьюринга
- •5.2.3. Композиция машин Тьюринга
- •5.3. Нормальные алгоритмы Маркова
- •5.4 Сложность вычислений
- •Вопросы и задачи
- •Глава 6. Конечные автоматы
- •6.1. Абстрактный автомат
- •6.1.1. Типы конечных автоматов
- •6.1.2. Описание автоматов
- •6.1.3. Автоматное моделирование алгоритмов
- •6.1.3.1. Автомат Мили - модель управляющего автомата
- •6.1.3.2. Автомат Мура - модель управляющего автомата
- •6.1.3.3. Микропрограммный автомат
- •6.1.4. Эквивалентность автоматов
- •6.1.5. Эквивалентность внутренних состояний автомата
- •6.1.5.1. Детерминированный автомат
- •6.1.5.2. Недетерминированный автомат
- •6.2. Структурный автомат
- •6.2.1. Произведение автоматов
- •6.2.1.1. Последовательное соединение автоматов
- •6.2.1.2. Параллельное соединение автоматов
- •Обратная связь автоматов
- •6.2.3. Сумма автоматов
- •6.2.4. Структурный автомат и кодирование
- •6.3. Логическое проектирование автоматов
- •6.3.1. Кодирование алфавитов автомата
- •6.3.2. Автоматы без “памяти”.
- •6.3.2.1. Формирование оператора
- •6.3.2.2. Формирование системы операторов
- •Логическая схема комбинационного автомата
- •6.3.3. Автоматы с “памятью”
- •6.3.3.1. Формирование оператора
- •6.3.3.2. Формирование оператора
- •.3.3.3. Логическая схема автомата с “памятью”
- •Вопросы и задачи
- •Литература
- •Предметный указатель
1.5.8.2. Минимизация кнф булевой функции
Если в СКНФ булевой функции произвести всевозможные операции обобщённого склеивания (xÚF)×(`xÚF)=(xÚF)×(`xÚF)×F, а затем операции поглощения F1×(F1ÚF2)=F1, то будет получена сокращённая КНФ, каждая элементарная дизъюнкция которой есть имплицента длины n или (n-1). На втором этапе выполняется операция обобщенного склеивания для имплицент длины (n-1), а в результате поглощения будут получены имплиценты длины (n-1) и/или (n-2).
Операции обобщённого склеивания и поглощения выполняются до тех пор, пока можно получать имплиценты от меньшего числа булевых переменных. Имплиценты минимальной длины булевой функции называются простыми.
Например, f(x1;x2;x3;x4)=(x1Úx2Úx3Úx4)×(x1Ú`x2Úx3Úx4)×(x1Ú`x2Ú`x3Úx4)×(x1Úx2Ú`x3Úx4)× (`x1Úx2Úx3Úx4)×(`x1Úx2Úx3Ú`x4)×(`x1Úx2Ú`x3Ú`x4).
первый этап обобщённого склеивания:
f(x1;x2;x3;x4)=(x1Úx2Úx3Úx4)×(x1Ú`x2Úx3Úx4)×(x1Ú`x2Ú`x3Úx4)×(x1Úx2Ú `x3Úx4)× (`x1Úx2Úx3Úx4)×(`x1Úx2Úx3Ú`x4)×(`x1Úx2Ú`x3Ú`x4)×(x2Úx3Úx4)× (x1Úx3Úx4)×(x1Úx2Úx4)× (x1Ú`x2Úx4)×(x1Ú`x3Úx4)×(`x1Úx2Úx3)×(`x1Úx2Ú`x4);
первый этап поглощения:
f(x1;x2;x3;x4)=(x2Úx3Úx4)×(x1Úx3Úx4)×(x1Úx2Úx4)×(x1Ú`x2Úx4)×(x1Ú`x3Ú x4)× (`x1Úx2Úx3)×(`x1Úx2Ú`x4);
второй этап обобщённого склеивания:
f(x1;x2;x3;x4)=(x2Úx3Úx4)×(x1Úx3Úx4)×(x1Úx2Úx4)×(x1Ú`x2Úx4)×(x1Ú`x3Ú x4)× (`x1Úx2Úx3)×(`x1Úx2Ú`x4)×(x1Úx4);
второй этап поглощения:
f(x1;x2;x3;x4)=(x2Úx3Úx4)×(`x1Úx2Úx3)×(`x1Úx2Ú`x4)×(x1Úx4).
Следующий этап не уменьшает длину КНФ и числа двоичных переменных. Следовательно, получены простые имплиценты и тупиковая КНФ.
Для поиска минимальной КНФ составляется таблица простых имплицент, столбцами которой являются элементарные дизъюнкции СКНФ булевой функции - D(i), а строками - простые имплиценты тупиковой КНФ - Dj.
Если Dj входят в число элементов D(i), то на пересечении строки и столбца ставиться 1, в противном случае 0.
Для каждого значения Dj проверяется условие: если Dj(i)®Úl¹jDl(i)º0, то Dj(i) является ядерной имплицентой минимальной КНФ. Этому условию соответствует единственная 1 в столбце для соответствующего Dj.
Если в столбце несколько 1, то Dj(i)®Úl¹jDl(i)º1. Удаляя из таблицы все ядерные имплиценты и столбцы D(i), в которых они содержат 1, получим сокращённую таблицу неядерных имплицент КНФ, из числа которых следует выбрать набор простых имплицент с минимальным набором числа двоичных переменных.
Ядерные имплиценты и набор неядерных из числа простых имплицент КНФ, покрывающих все “1” таблицы, формирует минимальную КНФ. В таблице 1.28 представлены простые имплиценты тупиковой КНФ и элементарные дизъюнкции СКНФ для рассматриваемого примера.
таблица 1.28 |
|||||||
Простые имплиценты Di |
Элементарные дизъюнкты - Di |
||||||
x1Úx2Úx3Úx4 |
x1Ú`x2Úx3Úx4 |
x1Ú`x2Ú`x3Úx4 |
x1Úx2Ú`x3Úx4 |
`x1Úx2Úx3Úx4 |
`x1Úx2Úx3Ú`x4 |
`x1Úx2Ú x3Ú`x4 |
|
x1Úx4 |
1 |
[1] |
[1] |
[1] |
0 |
0 |
1 |
x2Úx3 Úx4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
`x1Úx2Úx3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
[1] |
1 |
0 |
`x1Úx2Ú`x4Ú`x4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
Элементами этой таблицы являются “1”, если простая имплицента входит в состав элементарной дизъюнкции СКНФ, и “0” – в противном случае. Квадратными скобками выделены те “1”, для которых выполняется условие ядерной имплиценты.
Ядерными имплицентами являются (x1Úx4) и (`x1Úx2Ú`x4), которые покрывают элементарные дизъюнкции СКНФ (x1Úx2Úx3Úx4), (x1Ú`x2Úx3Úx4), (x1Ú`x2Ú`x3Úx4), (x1Úx2Ú`x3Úx4), (`x1Úx2Úx3Ú`x4) и (`x1Úx2Ú`x3Ú`x4).
Из множества элементарных дизъюнкций D(i) осталась непокрытой (`x1Úx2Úx3Úx4) и две неядерных имплиценты: (x1×x2×x3) и (x2×x3×x4). Следовательно, возможны два варианта минимальной КНФ:
. fmin(x1;x2;x3;x4)=(x1Ú x4)×(`x1Úx2Ú`x4)× (x2Úx3Úx4)
fmin(x1;x2;x3;x4)=(x1Ú x4)×(`x1Úx2Ú`x4)× (`x1Úx2Úx3).