- •Оглавление
- •Глава 1. Алгебраические системы 17
- •Глава 2. Элементы комбинаторики 88
- •Глава 3. Основы теории графов 101
- •Глава 4. Основы математической логики 169
- •4.1.1.4. Эквивалентные преобразования формул 179
- •4.1.4. Выполнить подстановку: 247
- •Глава 5. Основы теории алгоритмов 252
- •Глава 6. Конечные автоматы 289
- •Введение
- •Глава 1. Алгебраические системы
- •1.1 Множества
- •1.1.1. Четкие множества
- •1.1.2. Нечеткие множества
- •1.2. Соответствия, отображения и функции
- •1.2.1. Четкие отображения и функции
- •1.2.2. Нечеткие отображения
- •1.3. Отношение
- •1.3.1. Четкие отношения
- •1.3.2. Нечеткое отношение
- •1.4. Элементы общей алгебры
- •1.5. Булева алгебра
- •1.5.1. Булевы операции
- •1.5.2. Законы булевой алгебры
- •1.5.3. Формула булевой функции
- •1.5.4. Описание булевой функции
- •1.5.5. Суперпозиция булевых функций
- •1.5.6. Свойства булевых функций
- •1.5.6.1. Самодвойственные булевы функции
- •1.5.6.2. Монотонные булевы функции
- •1.5.6.3. Линейные булевы функции
- •1.5.6.4. Функции, сохраняющие “0”
- •1.5.6.5. Функции, сохраняющие “1”
- •1.5.6.6. Функционально полные системы
- •1.5.7. Разложение булевых функции
- •1.5.7.1. Днф булевой функции
- •1.5.7.2. Кнф булевой функции
- •Алгоритм преобразования формулы к скнф:
- •1.5.8. Минимизация булевых функций.
- •1.5.8.1.Минимизация днф булевой функции
- •1.5.8.2. Минимизация кнф булевой функции
- •1.6. Алгебра четких множеств
- •1.6.1. Операции над множествами
- •1.6.2. Законы алгебры множеств
- •1.6.3. Эквивалентные преобразования формул
- •1.6.4. Композиция отображений и отношений
- •1.6.5. Поиск неизвестного множества
- •1.7. Алгебра нечетких множеств
- •1.7.1. Операции над нечеткими множествами
- •1.7.2. Композиция нечетких отображений
- •1.7.3. Композиция нечетких отношений
- •1.7.4. Свойства нечетких отношений
- •Вопросы и задачи
- •Глава 2. Элементы комбинаторики
- •2.1. Размещение из n элементов по k
- •2.2. Перестановка элементов
- •2.3 Сочетание из n элементов по k
- •2.4. Разбиение множества
- •2. 5 Правила комбинаторики
- •Вопросы и задачи
- •Глава 3. Основы теории графов
- •3.1. Граф и его характеристики
- •3.2. Описание графа
- •3. 3. Числа графа
- •3.4. Операции над графами
- •3.4.1. Унарные операции
- •3.4.1.1 Поиск дополнительного графа
- •3.4.1.2. Введение и удаление вершин графа
- •3.4.1.3. Стягивание вершин графа
- •3.4.1.4. Введение и удаление ребер графа
- •3.4.1.5. Поиск плотности и неплотности графа
- •3.4.1.6. Поиск числа компонент связности графа
- •3.4.1.7. Поиск устойчивости графа
- •3.4.1.8. Поиск цикломатического числа графа
- •3.4.1.9. Поиск хроматического числа графа
- •3.4.2. Бинарные операции
- •3.4.2.1. Объединение графов
- •3.4.2.2. Пересечение графов
- •3.4.2.3. Композиция графов
- •3.4.2.4. Соединение графов
- •3.4.2.5. Прямое произведение графов
- •3.4.2.6. Изоморфизм графов
- •3.5. Некоторые алгоритмы на графах
- •3.5.1. Построение покрывающего остова
- •3.5.2. Построение остова минимального веса
- •3.5.3. Поиск кратчайших путей в сети.
- •3.5.4. Поиск максимального потока в сети
- •3.5.5. Метод критического пути в управлении
- •3.6. Нечеткие графы
- •Вопросы и задачи
- •Глава 4. Основы математической логики
- •4.1. Логика высказываний
- •4.1.1. Алгебра высказываний
- •4.1.1.1. Логические операции
- •4.1.1.2. Правила записи сложных формул.
- •4.1.1.3. Законы алгебры высказываний
- •4.1.1.4. Эквивалентные преобразования формул
- •4.1.1.5. Нормальные формы формул
- •4.1.2. Исчисление высказываний
- •4.1.2.1. Интерпретация формул
- •4.1.2.2. Аксиомы и правила введения и удаления логических связок
- •4.1.2.3. Метод дедуктивного вывода
- •4.1.2.4. Принцип резолюции
- •4. 2. Логика предикатов
- •4.2.1. Алгебра предикатов
- •4.2.1.1. Законы алгебры предикатов
- •4.2.1.2. Предваренная нормальная форма формулы
- •4.2.1.3 Сколемовская стандартная форма формулы
- •4. 2. 2. Исчисление предикатов
- •4.2.2.1. Правила подстановки
- •4.2.2.2. Правила введения и удаления кванторов
- •4.2.2.3. Правила заключения
- •4.2.2.4. Метод дедуктивного вывода
- •4.2.2.5. Принцип резолюции
- •4.2.2.6. Логическое программирование
- •4.3. Логика реляционная
- •4.3.1 Реляционная алгебра
- •4.3.1.1. Унарные операции
- •4.3.1.2. Бинарные операции
- •4.3.1.3. Правила реляционной алгебры
- •4.3.2. Реляционное исчисление
- •4.3.3. Языки реляционной логики
- •4.4. Нечеткая логика
- •4.4.1. Нечеткое исчисление
- •4.4.2. Экспертные системы
- •Вопросы и задачи
- •Глава 5. Основы теории алгоритмов
- •5.1. Рекурсивные функции
- •5.1.1. Базовые функции
- •5.1.2. Элементарные операции
- •5.2. Машина Тьюринга
- •5.2.1. Описание машины Тьюринга
- •5.2.2. Примеры машин Тьюринга
- •5.2.3. Композиция машин Тьюринга
- •5.3. Нормальные алгоритмы Маркова
- •5.4 Сложность вычислений
- •Вопросы и задачи
- •Глава 6. Конечные автоматы
- •6.1. Абстрактный автомат
- •6.1.1. Типы конечных автоматов
- •6.1.2. Описание автоматов
- •6.1.3. Автоматное моделирование алгоритмов
- •6.1.3.1. Автомат Мили - модель управляющего автомата
- •6.1.3.2. Автомат Мура - модель управляющего автомата
- •6.1.3.3. Микропрограммный автомат
- •6.1.4. Эквивалентность автоматов
- •6.1.5. Эквивалентность внутренних состояний автомата
- •6.1.5.1. Детерминированный автомат
- •6.1.5.2. Недетерминированный автомат
- •6.2. Структурный автомат
- •6.2.1. Произведение автоматов
- •6.2.1.1. Последовательное соединение автоматов
- •6.2.1.2. Параллельное соединение автоматов
- •Обратная связь автоматов
- •6.2.3. Сумма автоматов
- •6.2.4. Структурный автомат и кодирование
- •6.3. Логическое проектирование автоматов
- •6.3.1. Кодирование алфавитов автомата
- •6.3.2. Автоматы без “памяти”.
- •6.3.2.1. Формирование оператора
- •6.3.2.2. Формирование системы операторов
- •Логическая схема комбинационного автомата
- •6.3.3. Автоматы с “памятью”
- •6.3.3.1. Формирование оператора
- •6.3.3.2. Формирование оператора
- •.3.3.3. Логическая схема автомата с “памятью”
- •Вопросы и задачи
- •Литература
- •Предметный указатель
1.7. Алгебра нечетких множеств
Если уиверсальное множества U содержит нечеткие помножества, то к этим подмножествам также применимы бинарные операции объединения X'=(X’iX’j) и пересечения X’=(X’iX’j) и унарная операция дополнения X’=U\X'. Особенностью исполнения таких операций над нечеткими множествами является поиск степени принадлежности для каждого элемента универсального множества.
Множество нечетких подмножеств универсального множества B’(U) вместе с двумя бинарными операциями и одной унарной формируют алгебру нечетких множеств:
A’=<B’(U), , , , x’(u)>,
где B’(U) – множество всех нечетких подмножеств универсального множества,
, , , - сигнатура алгебры,
x’(u) – функция принадлежности элемента универсального множества U нечеткому подмножеству X’.
1.7.1. Операции над нечеткими множествами
Включение нечеткого множества A’ в нечеткое множество B’ определяется степенью включения нечеткого множества A’ в нечеткое множество B’ для каждого элемента универсального множества U в результате исполнения операции импликации (“если uU принадлежит A’, то он принадлежит B’”), т. е.
(A’B’)=(A’(u)B’(u))=(A’(u)B’(u))=min{max{(1-A’(u)), B’(u)}}.
Если (A’ B’) 0,5, то множество A’ нечетко включено в множество B’.
Пример: даны U={u1, u2, u3, u4, u5}, A’={0,3/u2, 0,6/u3, 0,4/u5} и B’={0,8/u1, 0,5/u2, 0,7/u3, 0,6/u5}. Определить (A’B’).
(A’B’)=min{max{1/u1, 0,8/u1}, max{0,7/u2, 0,5/u2}, max{0,4/u3, 0,7/u3}, max{1/u4, 0/u4}, max{0,6/u5, 0,6/u5}}= min{1/u1, 0,7/u2, 0,7/u3, 1/u4, 0,6/u5}=0,6.
Ответ: нечеткое множествоA’ нечетко включено в нечеткое множество B’.
Равенство нечетких множеств A’ и B’ определяется степенью равенства нечетких множеств A’ и B’ для каждого элемента универсального множества U в результате исполнения операции эквиваленции (“если uU принадлежит A’, то он принадлежит B’ и если он принадлежит B’, то принадлежит A’ ”), т.е.
(A’B’) =(A’(u)B’(u))=((A’(u)B’(u))(B’(u)A’(u)))=
min{min{max{(1-A’(u)), B’(u)}; max{(1-B’(u)), A’(u)}}}.
Если (A’ B’) 0,5, то множества A’ и B’ нечетко равны.
Пример: даны U={u1, u2, u3, u4, u5}, A’={0,8/u2, 0,6/u3, 0,1/u5} и B’={0,3/u1, 0,6/u2, 0,7/u3, 0,2/u4, 0,3/u5}.
(A’B’)=min{min{max{1/u1, 0,3/u1}, max{0/u1, 0,7/u1}}, min{max {0,2/u2, 0,6/u2}, max{0,8/u2, 0,4/u2}}, min{max{0,4/u3, 0,7/u3}, max{0,6/u3, 0,3/u3}}, min{max{1/u4, 0,2/u4}, max{0/u4, 0,8/u4}}, min{max{0,9/u5, 0,3/u5}, max{0,1/u5, 0,7/u5}}=min{min{1/u1, 0,7/u1}, min{0,6/u2, 0,8/u2}, min{ 0,7/u3, 0,6/u3}, min{1/u4, 0,8/u4}, min{0,9/u5, o,7/u5}}=min{0,7/u1, 0,6/u2, 0,6/u3, 0,8/u4, 0,7/u5}=0,6.
Ответ: нечеткое множество A’ нечетко равно нечеткому множеству B’.
Поскольку нечеткие отображения и отношения есть множества нечетких совместимых кортежей, т. е. h’={r’(xi, yj)/(xi, yj)} и r’={r’ (xi, xj)/(xi, xj)}, то к ним применимы все теоретико-множественные операции.
Объединение нечетких множеств A’ и B’ есть множество С’, состоящее из элементов множества U , которые принадлежат нечетким множествам А’ или В’, т. е. C’=(A’B’).
Степень принадлежности элементов универсального множества нечеткому множеству C’ равна максимальному значению степени принадлежности элемента нечетким множествам А’ и В’, т.е.
С’(u)= (A(u)B(u))=max{A(u); B(u)}.
Пример: даны два нечетких множества A’={0,6/u1, 0,4/u2, 0,8/u3, 0,2/u4, 1,0/u5, 0,3/u6} и B’={0,9/u1, 0,4/u2, 1,0/u3, 0,7/u7, 0,3/u8, 0,5/u9}.
Найти С’=(A’B’).
Ответ: С’=(A’B’)={0,9/u1, 0,4/u2, 1,0/u3, 0,2/u4, 1,0/u5, 0,3/u6, 0,7/u7, 0,3/u8, 0,5/u9}.
Пример: даны h’1={q’1(xi, yj)/(xi, yj)} и h’2={q’2(xi, yj)/(xi, yj)}.
Найти h’=(h’1h’2).
Степень принадлежности элемента (xi,yj) объединению двух нечетких отображений есть
h’(xi, yj)=h’1(xi, yj)h’2(xi, yj)= max{h’1(xi, yj), h’2(xi, yj)}.
-
h1’
y2
y3
y4
h2’
y2
y3
y4
x1
0,2
0,4
0,6
x1
0,4
0,2
0,8
x2
0,3
0,5
0,7
x2
0,5
0,7
0,3
=
x3
0,2
0,5
0,4
x3
0,5
0,2
0,6
x4
0,3
0,6
0,9
x4
0,4
0,7
0,8
ООтвет: в таблицах приведены результаты исполнения этой операции.
h’
y2
y3
y4
=
x1
0,4
0,4
0,8
x2
0,5
0,7
0,7
x3
0,5
0,5
0,6
x4
0,4
0,7
0,9
Пример: даны r’1={r’1(xi, xj)/(xi, xj)} и r’2={r’2(xi, xj)/(xi, xj)}.
Найти r’=(r’1r’2).
Степень принадлежности элемента (xi, xj) есть
r’(xi, xj)= r’1(xi, xj)r’2(xi, xj)=max{q’1(xi, xj), q’2(xi, xj)}.
r1’ |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
r2’ |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
x1 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,3 |
|
x1 |
0,4 |
0,2 |
0,8 |
0,9 |
|
x2 |
0,3 |
0,5 |
0,7 |
0,5 |
|
x2 |
0,5 |
0,7 |
0,3 |
0,7 |
= |
x3 |
0,2 |
0,5 |
0,4 |
0,7 |
|
x3 |
0,5 |
0,2 |
0,6 |
0,5 |
|
x4 |
0,3 |
0,6 |
0,9 |
0,9 |
|
x4 |
0,4 |
0,7 |
0,8 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: в таблицах приведены результаты исполнения этой операции. |
|
r’ |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
||||
= |
x1 |
0,4 |
0,4 |
0,8 |
0,9 |
|
|||||
|
x2 |
0,5 |
0,7 |
0,7 |
0,7 |
|
|||||
|
x3 |
0,5 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
|
|||||
|
x4 |
0,4 |
0,7 |
0,9 |
0,9 |
|
Пересечение нечетких множеств A’ и B’ есть множество С’, состоящее из элементов множества U, которые принадлежат нечетким множествам А’ и В’, т. е. C’=(A’B’). Степень принадлежности нечеткому множеству C’ равна минимальному значению степени принадлежности нечетким множествам А’ и В’, т.е. С’(u)=A’(u)B’(u)=min{A’(u), B’(u)}.
Пример: даны нечеткие множества A’={0,6/u1, 0,4/u2, 0,8/u3, 0,2/u4, 1,0/u5, 0,3/u6} и B’={0,9/u1, 0,4/u2, 1,0/u3, 0,7/u7, 0,3/u8, 0,5/u9}. Найти С’=(A’B’).
Ответ: С’=(АВ)={0,6/u1 ,0,4/u2, 0,8/ u3}.
Пример: даны h’1={h’1(xi, yj)/(xi, yj)} и h’2={h’2(xi, yj)/(xi, yj)}.
Найти h’=(h’1h’2).
Степень принадлежности элемента (xi,yj) есть
h’(xi, yj)=h’1(xi, yj)h’2(xi, yj)=min{h’1(xi, yj), h’2(xi, yj)}.
-
h1’
y2
y3
y4
h2’
y2
y3
y4
x1
0,2
0,4
0,6
x1
0,4
0,2
0,8
x2
0,3
0,5
0,7
x2
0,5
0,7
0,3
=
x3
0,2
0,5
0,4
x3
0,5
0,2
0,6
x4
0,3
0,6
0,9
x4
0,4
0,7
0,8
ООтвет: в таблицах приведены резуль- таты исполнения этой операции.
h’
y2
y3
y4
x1
0,2
0,2
0,6
=
x2
0,3
0,5
0,3
x3
0,2
0,2
0,4
x4
0,3
0,6
0,8
Пример: даны r’1={r’1(xi, xj)/(xi, xj)} и r’2={r’2(xi, xj)/(xi, xj)}.
Найти r’=(r’1r’2).
Степень принадлежности элемента (xi,xj) есть
r’(xi, xj)= r’1(xi, xj)r’2(xi, xj)= min{q’1(xi, xj), q’2(xi, xj)}.
-
r’1
x1
x2
x3
x4
r2’
x1
x 2
x3
x4
x1
0,2
0,4
0,6
0,3
x1
0,4
0,2
0,8
0,9
x2
0,3
0,5
0,7
0,5
x2
0,5
0,7
0,3
0,7
=
x3
0,2
0,5
0,4
0,7
x3
0,5
0,2
0,6
0,5
x4
0,3
0,6
0,9
0,9
x4
0,4
0,7
0,8
0,3
Ответ: в таблицах приведены результаты исполнения этой операции.
r’
x1
x2
x3
x4
x1
0,2
0,2
0,6
0,3
=
x2
0,3
0,5
0,3
0,5
x3
0,2
0,2
0,4
0,5
x4
0,3
0,6
0,8
0,3
Дополнение нечеткого множества A’ есть нечеткое множество A’, состоящее из всех элементов универсального множества U , которые не принадлежат нечеткому множеству А’.
Степень принадлежности нечеткому множеству A’ равна дополнению степени принадлежности нечеткому множеству A’ до значения степени принадлежности универсальному множеству U, т.е. A’(u)= 1 - A’(u).
Пример: даны универсальное множество U={u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9} и два нечетких подмножества A’={0,6/u1, 0,4/u2, 0,8/u3, 0,2/u4, 1,0/u5, 0,3/u6} и B’={0,9/u1, 0,4/u2, 1,0/u3, 0,7/u7, 0,3/u8, 0,5/u9}.
Найти А’ и В’.
Ответ: А’={0,4/u1, 0,6/u2, 0,2/u3, 0,8/u4, 0,7/u6, 1,0/u7, 1,0/u8, 1,0/u9};
В’={0,1/u1, 0,6/u2, 1,0/u4, 1,0/u5, 1,0/u6, 0,3/u7, 0,7/u8, 0,5/u9}.
Пример: дано нечеткое отображение h’={h’(xi, yj)/(xi, yj)}.
Найти h’.Степень принадлежности есть h’(xi, yj)=(1-h’(xi, yj)).
-
h’
y2
y3
y4
h’
y2
y3
y4
x1
0,2
0,4
0,6
x1
0,8
0,6
0,4
x2
0,3
0,5
0,7
x2
0,7
0,5
0,3
x3
0,2
0,5
0,4
x3
0,8
0,5
0,6
x4
0,3
0,6
0,9
x4
0,7
0,4
0,1
Пример: дано нечеткое r={h’(xi, xj)/(xi, xj)}. Найти r’.
Степень принадлежности есть r’(xi, xj)=(1 - r’(xi, xj).
-
r’
x1
x 2
x3
x4
r’
x1
x2
x3
x4
x1
0,4
0,2
0,8
0,9
x1
0,6
0,8
0,2
0,1
x2
0,5
0,7
0,3
0,7
x2
0,5
0,3
0,7
0,3
x3
0,5
0,2
0,6
0,5
x3
0,5
0,8
0,4
0,5
x4
0,4
0,7
0,8
0,3
x4
0,6
0,3
0,2
0,7
Разность нечетких множеств А’ и В’ есть множество С’, состоящее из тех элементов множества U , которые принадлежат нечеткому множеству А’ и не принадлежат нечеткому множеству В’,
т. е. C’=A’\B’=A’B’.
Степень принадлежности элемента универсального множества нечеткому множеству C’ равна минимальному значению его функции принадлежности нечетким множествам А’ и В’, т.е.
С’(u)=A’(u)(1-B’(u))=min{A’(u), (1-B’(u))}.
Пример: даны h’1={h’1(xi, yj)/(xi, yj)} и h’2={h’2(xi, yj)/(xi, yj)}.
Найти h’=(h’1\h’2).
Степень принадлежности элемента (xi,yj) есть
h’(xi, yj)=h’1(xi, yj)(1-h’2(xi, yj))=min{h’1(xi, yj); (1-h’2(xi, yj))}.
-
h1’
y2
y3
y4
h2’
y2
y3
y4
x1
0,2
0,4
0,6
x1
0,4
0,2
0,8
x2
0,3
0,5
0,7
\
x2
0,5
0,7
0,3
=
x3
0,2
0,5
0,4
x3
0,5
0,2
0,6
x4
0,3
0,6
0,9
x4
0,4
0,7
0,8
Ответ: в таблицах приведены результаты исполнения этой операции.
h’
y2
y3
y4
x1
0,2
0,4
0,2
=
x2
0,3
0,3
0,3
x3
0,2
0,5
0,4
x4
0,3
0,3
0,2
Пример: даны универсальное множество U={u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9} и два нечетких подмножества A’={0,6/u1, 0,4/u2, 0,8/u3, 0,2/u4, 1,0/u5, 0,3/u6} и B’={0,9/u1, 0,4/u2, 1,0/u3, 0,7/u7, 0,3/u8, 0,5/u9}.
Найти С’=А’\В’.
Ответ: С’=А’\В’={0,1/u1, 0,4/u2, 0,2/u4, 1,0/u5, 0,3/u6}.
Пример: даны r’1={r’1(xi, xj)/(xi, xj)} и r’2={r’2(xi, xj)/(xi, xj)}.
Найти r’=(r’1\ r’2).
Степень принадлежности (xi,xj) есть
r’(xi, xj)= r’1(xi, xj)(1-r’2(xi, xj))= min{r’1(xi, xj); (1-r’2(xi, xj))}.
|
r1’ |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
r2’ |
x1 |
x 2 |
x3 |
x4 |
|
||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
x1 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,3 |
|
x1 |
0,4 |
0,2 |
0,8 |
0,9 |
|
||||||||
|
x2 |
0,3 |
0,5 |
0,7 |
0,5 |
|
x2 |
0,5 |
0,7 |
0,3 |
0,7 |
= |
||||||||
|
x3 |
0,2 |
0,5 |
0,4 |
0,7 |
|
x3 |
0,5 |
0,2 |
0,6 |
0,5 |
|
||||||||
|
x4 |
0,3 |
0,6 |
0,9 |
0,9 |
|
x4 |
0,4 |
0,7 |
0,8 |
0,3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ответ: в таблицах приведены результаты исполнения этой операции.
|
|
r’ |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
|
||||||||||||
|
x1 |
0,2 |
0,4 |
0,2 |
0,1 |
|
|
|||||||||||||
= |
x2 |
0,3 |
0,3 |
0,7 |
0,3 |
|
|
|||||||||||||
|
x3 |
0,2 |
0,5 |
0,4 |
0,5 |
|
|
|||||||||||||
|
x4 |
0,3 |
0,3 |
0,2 |
0,7 |
|
|
Симметрическая разность нечетких множеств A' и B’ есть нечеткое множество С’, состоящее из элементов универсального множества U, которые принадлежат нечетким множествам А’ и В’ или В’ и А’, т. е. С’=(А’В’)= (А’В’)(В’А’).
Степень принадлежности элемента универсального множества нечеткому множеству C’ равна максимальному значению из двух минимальных значений степеней принадлежности элемента (А’В’) и (В’А’), т.е
C’(u)=(A’(u)B’(u))(B’(u)A’(ui))= max{min{A’(u);B’(u)};
min{B’(u);A’(ui)}}.
Пример: даны универсальное множество U={u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9} и два нечетких подмножества A’={0,6/u1, 0,4/u2, 0,8/u3, 0,2/u4, 1,0/u5, 0,3/u6} и B’={0,9/u1, 0,4/u2, 1,0/u3, 0,7/u7, 0,3/u8, 0,5/u9}.
Найти С’=(А’В’).
Ответ: С’=(А’В’)={0,4/u1, 0,4/u2, 0,2/u3, 0,2/u4, 1,0/u5, 0,3/u6, 0,7/u7, 0,3/u8, 0,5/u9}.
Пример: даны h’1={h’1(xi, yj)/(xi, yj)} и h’2={h’2(xi, yj)/(xi, yj)}.
Найти h’=(h’1h’2).
Степень принадлежности (xi, yj) есть
h’(xi, yj)=(h’1(xi, yj)(1-h’2(xi, yj)))(h’2(xi, yj)(1-h’1(xi, yj)))= max{min{h’(xi, xj); (1-h2’(xi, xj))}; min{h2’(xi, xj); (1-h1’(xi, xj))}}.
h1’ |
y2 |
y3 |
y4 |
|
h2’ |
y2 |
y3 |
y4 |
|
x1 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
|
x1 |
0,4 |
0,2 |
0,8 |
|
x2 |
0,3 |
0,5 |
0,7 |
|
x2 |
0,5 |
0,7 |
0,3 |
= |
x3 |
0,2 |
0,5 |
0,4 |
|
x3 |
0,5 |
0,2 |
0,6 |
|
x4 |
0,3 |
0,6 |
0,9 |
|
x4 |
0,4 |
0,7 |
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: в таблицах приведены резуль- таты исполнения этой операции.
|
|
h’ |
y2 |
y3 |
y4 |
|
|||
|
x1 |
0,4 |
0,4 |
0,4 |
|
||||
= |
x2 |
0,5 |
0,5 |
0,3 |
|
||||
|
x3 |
0,5 |
0,5 |
0,6 |
|
||||
|
x4 |
0,4 |
0,4 |
0,2 |
|
Пример: даны r’1={r’1(xi, xj)/(xi, xj)} и r’2={r’2(xi, xj)/(xi, xj)}.
Найти r’=(r’1r’2).
Степень принадлежности (xi, xj) есть
r’(xi, xj)=(r’1(xi, xj)(1-r’2(xi, xj)))(r’2(xi, xj)(1-r’1(xi, xj)))=
max{min{r’(xi, xj); (1-r2’(xi, xj))}; min{r2’(xi, xj); (1-r1’(xi, xj))}}.
r1’ |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
r2’ |
x1 |
x 2 |
x3 |
x4 |
|
x1 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,3 |
|
x1 |
0,4 |
0,2 |
0,8 |
0,9 |
|
x2 |
0,3 |
0,5 |
0,7 |
0,5 |
|
x2 |
0,5 |
0,7 |
0,3 |
0,7 |
= |
x3 |
0,2 |
0,5 |
0,4 |
0,7 |
|
x3 |
0,5 |
0,2 |
0,6 |
0,5 |
|
x4 |
0,3 |
0,6 |
0,9 |
0,9 |
|
x4 |
0,4 |
0,7 |
0,8 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: в таблицах приведены результаты исполнения этой операции.
|
|
r’ |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
||||
|
x1 |
0,4 |
0,4 |
0,4 |
0,7 |
|
|||||
= |
x2 |
0,5 |
0,5 |
0,7 |
0,5 |
|
|||||
|
x3 |
0,5 |
0,5 |
0,6 |
0,5 |
|
|||||
|
x4 |
0,4 |
0,4 |
0,2 |
0,7 |
|