- •Оглавление
- •Глава 1. Алгебраические системы 17
- •Глава 2. Элементы комбинаторики 88
- •Глава 3. Основы теории графов 101
- •Глава 4. Основы математической логики 169
- •4.1.1.4. Эквивалентные преобразования формул 179
- •4.1.4. Выполнить подстановку: 247
- •Глава 5. Основы теории алгоритмов 252
- •Глава 6. Конечные автоматы 289
- •Введение
- •Глава 1. Алгебраические системы
- •1.1 Множества
- •1.1.1. Четкие множества
- •1.1.2. Нечеткие множества
- •1.2. Соответствия, отображения и функции
- •1.2.1. Четкие отображения и функции
- •1.2.2. Нечеткие отображения
- •1.3. Отношение
- •1.3.1. Четкие отношения
- •1.3.2. Нечеткое отношение
- •1.4. Элементы общей алгебры
- •1.5. Булева алгебра
- •1.5.1. Булевы операции
- •1.5.2. Законы булевой алгебры
- •1.5.3. Формула булевой функции
- •1.5.4. Описание булевой функции
- •1.5.5. Суперпозиция булевых функций
- •1.5.6. Свойства булевых функций
- •1.5.6.1. Самодвойственные булевы функции
- •1.5.6.2. Монотонные булевы функции
- •1.5.6.3. Линейные булевы функции
- •1.5.6.4. Функции, сохраняющие “0”
- •1.5.6.5. Функции, сохраняющие “1”
- •1.5.6.6. Функционально полные системы
- •1.5.7. Разложение булевых функции
- •1.5.7.1. Днф булевой функции
- •1.5.7.2. Кнф булевой функции
- •Алгоритм преобразования формулы к скнф:
- •1.5.8. Минимизация булевых функций.
- •1.5.8.1.Минимизация днф булевой функции
- •1.5.8.2. Минимизация кнф булевой функции
- •1.6. Алгебра четких множеств
- •1.6.1. Операции над множествами
- •1.6.2. Законы алгебры множеств
- •1.6.3. Эквивалентные преобразования формул
- •1.6.4. Композиция отображений и отношений
- •1.6.5. Поиск неизвестного множества
- •1.7. Алгебра нечетких множеств
- •1.7.1. Операции над нечеткими множествами
- •1.7.2. Композиция нечетких отображений
- •1.7.3. Композиция нечетких отношений
- •1.7.4. Свойства нечетких отношений
- •Вопросы и задачи
- •Глава 2. Элементы комбинаторики
- •2.1. Размещение из n элементов по k
- •2.2. Перестановка элементов
- •2.3 Сочетание из n элементов по k
- •2.4. Разбиение множества
- •2. 5 Правила комбинаторики
- •Вопросы и задачи
- •Глава 3. Основы теории графов
- •3.1. Граф и его характеристики
- •3.2. Описание графа
- •3. 3. Числа графа
- •3.4. Операции над графами
- •3.4.1. Унарные операции
- •3.4.1.1 Поиск дополнительного графа
- •3.4.1.2. Введение и удаление вершин графа
- •3.4.1.3. Стягивание вершин графа
- •3.4.1.4. Введение и удаление ребер графа
- •3.4.1.5. Поиск плотности и неплотности графа
- •3.4.1.6. Поиск числа компонент связности графа
- •3.4.1.7. Поиск устойчивости графа
- •3.4.1.8. Поиск цикломатического числа графа
- •3.4.1.9. Поиск хроматического числа графа
- •3.4.2. Бинарные операции
- •3.4.2.1. Объединение графов
- •3.4.2.2. Пересечение графов
- •3.4.2.3. Композиция графов
- •3.4.2.4. Соединение графов
- •3.4.2.5. Прямое произведение графов
- •3.4.2.6. Изоморфизм графов
- •3.5. Некоторые алгоритмы на графах
- •3.5.1. Построение покрывающего остова
- •3.5.2. Построение остова минимального веса
- •3.5.3. Поиск кратчайших путей в сети.
- •3.5.4. Поиск максимального потока в сети
- •3.5.5. Метод критического пути в управлении
- •3.6. Нечеткие графы
- •Вопросы и задачи
- •Глава 4. Основы математической логики
- •4.1. Логика высказываний
- •4.1.1. Алгебра высказываний
- •4.1.1.1. Логические операции
- •4.1.1.2. Правила записи сложных формул.
- •4.1.1.3. Законы алгебры высказываний
- •4.1.1.4. Эквивалентные преобразования формул
- •4.1.1.5. Нормальные формы формул
- •4.1.2. Исчисление высказываний
- •4.1.2.1. Интерпретация формул
- •4.1.2.2. Аксиомы и правила введения и удаления логических связок
- •4.1.2.3. Метод дедуктивного вывода
- •4.1.2.4. Принцип резолюции
- •4. 2. Логика предикатов
- •4.2.1. Алгебра предикатов
- •4.2.1.1. Законы алгебры предикатов
- •4.2.1.2. Предваренная нормальная форма формулы
- •4.2.1.3 Сколемовская стандартная форма формулы
- •4. 2. 2. Исчисление предикатов
- •4.2.2.1. Правила подстановки
- •4.2.2.2. Правила введения и удаления кванторов
- •4.2.2.3. Правила заключения
- •4.2.2.4. Метод дедуктивного вывода
- •4.2.2.5. Принцип резолюции
- •4.2.2.6. Логическое программирование
- •4.3. Логика реляционная
- •4.3.1 Реляционная алгебра
- •4.3.1.1. Унарные операции
- •4.3.1.2. Бинарные операции
- •4.3.1.3. Правила реляционной алгебры
- •4.3.2. Реляционное исчисление
- •4.3.3. Языки реляционной логики
- •4.4. Нечеткая логика
- •4.4.1. Нечеткое исчисление
- •4.4.2. Экспертные системы
- •Вопросы и задачи
- •Глава 5. Основы теории алгоритмов
- •5.1. Рекурсивные функции
- •5.1.1. Базовые функции
- •5.1.2. Элементарные операции
- •5.2. Машина Тьюринга
- •5.2.1. Описание машины Тьюринга
- •5.2.2. Примеры машин Тьюринга
- •5.2.3. Композиция машин Тьюринга
- •5.3. Нормальные алгоритмы Маркова
- •5.4 Сложность вычислений
- •Вопросы и задачи
- •Глава 6. Конечные автоматы
- •6.1. Абстрактный автомат
- •6.1.1. Типы конечных автоматов
- •6.1.2. Описание автоматов
- •6.1.3. Автоматное моделирование алгоритмов
- •6.1.3.1. Автомат Мили - модель управляющего автомата
- •6.1.3.2. Автомат Мура - модель управляющего автомата
- •6.1.3.3. Микропрограммный автомат
- •6.1.4. Эквивалентность автоматов
- •6.1.5. Эквивалентность внутренних состояний автомата
- •6.1.5.1. Детерминированный автомат
- •6.1.5.2. Недетерминированный автомат
- •6.2. Структурный автомат
- •6.2.1. Произведение автоматов
- •6.2.1.1. Последовательное соединение автоматов
- •6.2.1.2. Параллельное соединение автоматов
- •Обратная связь автоматов
- •6.2.3. Сумма автоматов
- •6.2.4. Структурный автомат и кодирование
- •6.3. Логическое проектирование автоматов
- •6.3.1. Кодирование алфавитов автомата
- •6.3.2. Автоматы без “памяти”.
- •6.3.2.1. Формирование оператора
- •6.3.2.2. Формирование системы операторов
- •Логическая схема комбинационного автомата
- •6.3.3. Автоматы с “памятью”
- •6.3.3.1. Формирование оператора
- •6.3.3.2. Формирование оператора
- •.3.3.3. Логическая схема автомата с “памятью”
- •Вопросы и задачи
- •Литература
- •Предметный указатель
4.2.2.6. Логическое программирование
В отличие от общепринятых алгоритмических языков языки логического программирования не определяют жесткой последовательности действий, а допускают несколько вариантов в решении одной задачи, используя правила подстановки и унификации и механизм принципа резолюции.
Типичным представителем языков программирования задач математической логики является Prolog. Само название Prolog есть сокращение, означающее программирование в терминах логики.
Пролог-программа состоит из предложений трех типов: факты, правила и вопросы.
Факты есть высказывания, которые заканчиваются точкой и имеют значение только “истины”. Структура такого предложения описана предикатом или n-местным отношением, все аргументы которого есть предметные постоянные. Предметные постоянные всегда начинаются со сточной буквы латинского алфавита и представляют собой последовательность букв, цифр и знака подчеркивания.
Например,
простое_число (3).
Это - высказывание, структура которого описана предикатом
P1(x):=”x - простое число”.
частное_от_деления(6, 2, 3).
Это - высказывание, структура которого описана предикатом
P3(x, y, z):=”z есть частное от деления числа x на y”.
студент_университета,_обучающийся_по_специальности (Петров, КГТУ, прикладная информатика").
Это - высказывание, структура которого описана предикатом
P6(x, y, z):= "студент x университета y, обучающийся по специальности z”.
:
отец (игорь, святослав).
отец (святослав, владимир).
отец (владимир, борис).
отец (владимир, глеб). / родословная русских
дед (игорь, владимир). князей X века /.
дед (святослав, борис).
дед (святослав, глеб).
брат (борис, глеб).
Это - высказывания, структура которых описана предикатами
P4(X, Y):=”X – отец Y”, P5(X, Y):=”X – дед Y”, P6(X, Y):=”X – брат Y”.
Структуру высказывания или функциональную зависимость между предметными постоянными описывают термы.
Множество фактов формирует базу данных о предметной области.
Правила есть суждения, истинность которых зависит от истинности условий: “если истинны условия (посылки, цели), то истинно и заключение (вывод)”. Это – известное правило m.p.
На языке Prolog правила записывают так:
<заключение>:-
<условия>”.”
Символ “:-“ соответствует символу обратной импликации ””.
Левую часть правила называют головой предложения, а правую – телом предложения. В теле предложения перечисляют условия, а в голове - заключение.
Если дано несколько условий, и они имеют между собой конъюнктивную связь, то перечень условий описывают так:
<условие>{“,”<условие>}”.”,
если дизъюнктивную, - так:
<условие>{“;”<условие>}”.”.
Голова предложения всегда сдвинута влево относительно перечня условий. Каждое условие начинается с новой строки.
На языке Prolog эти правила записывают так:
<заключение>:-
<условие_1>”,”
<условие_2>”;”
<условие_3>”.”
Предметные переменные и предметные постоянные являются аргументами заключения и условий. Множество правил формирует базу знаний и определяет механизм достижения целей при заданных условиях.
Например, в базе знаний могут быть правила:
дед(X, Y):-
отец(X, Z),
отец (Z, Y).
брат(X, Y):-
отец (Z, X),
отец(Z, Y).
Вопросы, позволяют запрашивать систему о том, какие суждения являются истинными или ложными. Для этого предметные переменные, включаемые в вопросы, сравниваются с помощью правил унификации и подстановки с предметными постоянными, включаемыми в факты.
Пример:
?-дед (святослав, Y). /“Кому Святослав является дедом?”/.
В базе знаний есть правило:
дед(X, Y):-
отец(X, Z),
отец (Z, Y).
Выполняя подстановку в условия фактов из базы данных, получим:
отец (святослав, владимир).
отец (владимир, борис).
отец (владимир, глеб).
Следовательно, ответ на поставленный вопрос:
дед (святослав, борис, глеб). /”Святослав дед Борису и Глебу”/
Пример:
?-брат(X, Y). /”Есть ли братья среди русских князей X века”/.
В базе знаний есть правило:
брат(X, Y):-
отец (Z, X),
отец(Z, Y).
Выполняя подстановку в условия фактов из базы данных, получим:
отец (владимир, борис).
отец (владимир, глеб).
Следовательно, ответ на поставленный вопрос:
брат (борис, глеб). /”Борис и Глеб – братья”/.
Рассмотренный метод обобщает механизм унификации. Аргументы вызова - это имена переменных, которые подставляют на место формальных параметров. Формальными параметрами могут быть термы.
Например, для родословной русских князей X века имеем:
дед (игорь, владимир):-
отец (игорь, святослав),
отец (святослав, владимир).
Это - высказывание о том, что если ‘игорь’ был отцом ‘святослава’, а ‘святослав’ – отцом ‘владимира’, то ‘игорь’ был дедом ‘владимиру’.
дед (святослав, борис), дед(святослав, глеб):-
отец (святослав, владимир),
отец (владимир, борис);
отец (святослав, владимир),
отец (владимир, глеб).
Это есть высказывание о том, что ‘святослав’ был отцом ‘владимира’ и дедом ‘борису’ и ‘глебу’.
брат(борис, глеб):-.
родитель(владимир, борис),
родитель(владимир,глеб).
Это есть высказывание о том, что если ‘владимир’ был отцом ‘бориса’ и отцом ‘глеба’, то ‘борис’ и ‘глеб’ были братьями.