1.2.2. Нечеткие отображения

Наряду с нечеткими множествами существуют нечеткие отображения h: X Y, когда четко заданы носители отображения (X и Y) и нечетко – принадлежность каждой пары (x, y) нечеткому отображению h’.

Значение функции принадлежности (x_i, y_j)(XY) есть степень принадлежности нечеткому отображению h’, т. е.

h’={_h’(x_i, y_j)/ (x_i, y_j)| x_i X, y_jY}.

Нечеткие отображения удобно описывать матрицами, строки которой есть xX – прообразы нечеткого отображения, а столбцы - yY – образы нечеткого отображения. Тогда в клетках (x_i, y_j) будут указаны значения их степени принадлежности _h’(x_i, y_j).

Пример. Пусть в пределах региона необходимо разместить двенадцать магазинов розничной торговли Х = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉, x₁₀, x₁₁, x₁₂}, представляющих четыре фирмы оптовой торговли Z = { z₁, z₂, z₃, z₄ }. Руководители фирм обратились в консалтинговую фирму для построения рациональной структуры использования и размещения магазинов в регионе.

Пусть эксперты установили, что на структуру использования и размещения магазинов наибольшее влияние оказывают “доступность мага­зина" (y₁), “высокое качество товара” (y₂), “высокий уровень обслуживания” (y₃) и “низкие цены” (y₄), т.е. Y={y₁, y₂, y₃, y₄}.

Эксперты, обсуждая с руководителями магазинов и фирм организацию торговли, установили их нечеткое понимание значимости пожеланий покупателя.

Пусть учет принятых показателей руководителями магазинов представлен, как нечеткое отображение X Y таблицей 1.6, где каждый x_i дал нечеткую оценку значимости каждого показателя.

График нечеткого отображения мнения руководителя магазина о каждом пожелании покупателя есть:

h_i’₁={_h’(x_i, y₁)/ (x_i, y₁), _h’(x_i, y₂)/ (x_i, y₂), _h’(x_i, y₃)/ (x_i, y₃), _q’(x_i, y₄)/ (x_i, y₄)}.

Прообразом, например, для y₁ является нечеткое множество

X'_y1={1,0/ x₁, 0,8/x₆, 0,7/ x₇, 0,5/ x₈, 0,5/ x₉, 0,6/ x₁₀, 0,1/ x₁₁}, а образом, например, для x₆ является нечеткое множество Y_x6’={0,8/ y₁, 0,4/ y₂, 0,5/ y₃, 0,9/ y₄}.

таблица 1.6.
h’1	y1	y2	y3	y4
x1	1	0	0	0
x2	0	1	0	0
x3	0	0	1	0
x4	0	0	0	1
x5	1	1	1	1
x6	0,8	0,4	0,5	0,9
x7	0,7	0,3	0,4	0,8
x8	0,5	0,8	0,8	0,2
x9	0,5	0,5	0,5	0,5
x10	0,6	0,7	0,8	0,5
x11	0,1	0,1	0,1	0,1
x12	0	0	1	1

Для x₁ значимым является только “доступность магазина” (y₁), для x₂ – “высокое качество товара” (y₂), для x₃ –“высокий уровень обслуживания” (y₃), для x₄ –“низкие цены” (y₄). Для x₅ - важны все признаки. Для x₈ - наибольшее значение имеют “высокое качество товара” (y₂) и “высокий уровень обслуживания (y₃), степень принадлежности которых равна 0,8. Для x₉ – все признаки имеют не очень большое значение, так как степень принадлежности равна 0,5, а для x₁₁ - все они совершенно незначимы, так как степень принадлежности равна 0,1.

Пусть таблицей 1.7 представлены мнения руководителей фирм о значимости каждого показателя.

График нечеткого отображения мнения руководителя фирмы о каждом показателе есть

h_j’₂={_h’(y₁, z_j)/ (y₁, z_j), _h’(y₂, z_j)/ (y₂, z_j), _h’(y₃, z_j)/ (y₃, z_j), _h’(y₄, z_j)/ (y₄, z_j)}.

Прообразом, например, для y₁ будет нечеткое множество

Z’_y1={0,9/ z₁, 0,1/ z₂, 0,5/z₄, 0,7/ z₄}, а образом, например, для z₄ будет нечеткое множество Y’_z4={0, 7/ y₁, 0,6/ y₂, 0,4/ y₃, 0,6/ y₄}.

таблица 1.7.
h’2	z1	z2	z3	z4
y1	0,9	0,1	0,5	0,7
y2	0,5	0,9	0,6	0,6
y3	0,4	0,9	0,5	0,4
y4	0,8	0,1	0,5	0,6

Например, для z₁ наиболее значимы “доступность магазина” (y₁) и “низкие цены” (y₄), для z₂ –“высокие качество товара” (y₂) и “высокий уровень обслуживания” (y₃), для z₃ – все они не имеют большого значения, для z₄ –незначим “высокий уровень обслуживания” (y₃).