- •Оглавление
- •Глава 1. Алгебраические системы 17
- •Глава 2. Элементы комбинаторики 88
- •Глава 3. Основы теории графов 101
- •Глава 4. Основы математической логики 169
- •4.1.1.4. Эквивалентные преобразования формул 179
- •4.1.4. Выполнить подстановку: 247
- •Глава 5. Основы теории алгоритмов 252
- •Глава 6. Конечные автоматы 289
- •Введение
- •Глава 1. Алгебраические системы
- •1.1 Множества
- •1.1.1. Четкие множества
- •1.1.2. Нечеткие множества
- •1.2. Соответствия, отображения и функции
- •1.2.1. Четкие отображения и функции
- •1.2.2. Нечеткие отображения
- •1.3. Отношение
- •1.3.1. Четкие отношения
- •1.3.2. Нечеткое отношение
- •1.4. Элементы общей алгебры
- •1.5. Булева алгебра
- •1.5.1. Булевы операции
- •1.5.2. Законы булевой алгебры
- •1.5.3. Формула булевой функции
- •1.5.4. Описание булевой функции
- •1.5.5. Суперпозиция булевых функций
- •1.5.6. Свойства булевых функций
- •1.5.6.1. Самодвойственные булевы функции
- •1.5.6.2. Монотонные булевы функции
- •1.5.6.3. Линейные булевы функции
- •1.5.6.4. Функции, сохраняющие “0”
- •1.5.6.5. Функции, сохраняющие “1”
- •1.5.6.6. Функционально полные системы
- •1.5.7. Разложение булевых функции
- •1.5.7.1. Днф булевой функции
- •1.5.7.2. Кнф булевой функции
- •Алгоритм преобразования формулы к скнф:
- •1.5.8. Минимизация булевых функций.
- •1.5.8.1.Минимизация днф булевой функции
- •1.5.8.2. Минимизация кнф булевой функции
- •1.6. Алгебра четких множеств
- •1.6.1. Операции над множествами
- •1.6.2. Законы алгебры множеств
- •1.6.3. Эквивалентные преобразования формул
- •1.6.4. Композиция отображений и отношений
- •1.6.5. Поиск неизвестного множества
- •1.7. Алгебра нечетких множеств
- •1.7.1. Операции над нечеткими множествами
- •1.7.2. Композиция нечетких отображений
- •1.7.3. Композиция нечетких отношений
- •1.7.4. Свойства нечетких отношений
- •Вопросы и задачи
- •Глава 2. Элементы комбинаторики
- •2.1. Размещение из n элементов по k
- •2.2. Перестановка элементов
- •2.3 Сочетание из n элементов по k
- •2.4. Разбиение множества
- •2. 5 Правила комбинаторики
- •Вопросы и задачи
- •Глава 3. Основы теории графов
- •3.1. Граф и его характеристики
- •3.2. Описание графа
- •3. 3. Числа графа
- •3.4. Операции над графами
- •3.4.1. Унарные операции
- •3.4.1.1 Поиск дополнительного графа
- •3.4.1.2. Введение и удаление вершин графа
- •3.4.1.3. Стягивание вершин графа
- •3.4.1.4. Введение и удаление ребер графа
- •3.4.1.5. Поиск плотности и неплотности графа
- •3.4.1.6. Поиск числа компонент связности графа
- •3.4.1.7. Поиск устойчивости графа
- •3.4.1.8. Поиск цикломатического числа графа
- •3.4.1.9. Поиск хроматического числа графа
- •3.4.2. Бинарные операции
- •3.4.2.1. Объединение графов
- •3.4.2.2. Пересечение графов
- •3.4.2.3. Композиция графов
- •3.4.2.4. Соединение графов
- •3.4.2.5. Прямое произведение графов
- •3.4.2.6. Изоморфизм графов
- •3.5. Некоторые алгоритмы на графах
- •3.5.1. Построение покрывающего остова
- •3.5.2. Построение остова минимального веса
- •3.5.3. Поиск кратчайших путей в сети.
- •3.5.4. Поиск максимального потока в сети
- •3.5.5. Метод критического пути в управлении
- •3.6. Нечеткие графы
- •Вопросы и задачи
- •Глава 4. Основы математической логики
- •4.1. Логика высказываний
- •4.1.1. Алгебра высказываний
- •4.1.1.1. Логические операции
- •4.1.1.2. Правила записи сложных формул.
- •4.1.1.3. Законы алгебры высказываний
- •4.1.1.4. Эквивалентные преобразования формул
- •4.1.1.5. Нормальные формы формул
- •4.1.2. Исчисление высказываний
- •4.1.2.1. Интерпретация формул
- •4.1.2.2. Аксиомы и правила введения и удаления логических связок
- •4.1.2.3. Метод дедуктивного вывода
- •4.1.2.4. Принцип резолюции
- •4. 2. Логика предикатов
- •4.2.1. Алгебра предикатов
- •4.2.1.1. Законы алгебры предикатов
- •4.2.1.2. Предваренная нормальная форма формулы
- •4.2.1.3 Сколемовская стандартная форма формулы
- •4. 2. 2. Исчисление предикатов
- •4.2.2.1. Правила подстановки
- •4.2.2.2. Правила введения и удаления кванторов
- •4.2.2.3. Правила заключения
- •4.2.2.4. Метод дедуктивного вывода
- •4.2.2.5. Принцип резолюции
- •4.2.2.6. Логическое программирование
- •4.3. Логика реляционная
- •4.3.1 Реляционная алгебра
- •4.3.1.1. Унарные операции
- •4.3.1.2. Бинарные операции
- •4.3.1.3. Правила реляционной алгебры
- •4.3.2. Реляционное исчисление
- •4.3.3. Языки реляционной логики
- •4.4. Нечеткая логика
- •4.4.1. Нечеткое исчисление
- •4.4.2. Экспертные системы
- •Вопросы и задачи
- •Глава 5. Основы теории алгоритмов
- •5.1. Рекурсивные функции
- •5.1.1. Базовые функции
- •5.1.2. Элементарные операции
- •5.2. Машина Тьюринга
- •5.2.1. Описание машины Тьюринга
- •5.2.2. Примеры машин Тьюринга
- •5.2.3. Композиция машин Тьюринга
- •5.3. Нормальные алгоритмы Маркова
- •5.4 Сложность вычислений
- •Вопросы и задачи
- •Глава 6. Конечные автоматы
- •6.1. Абстрактный автомат
- •6.1.1. Типы конечных автоматов
- •6.1.2. Описание автоматов
- •6.1.3. Автоматное моделирование алгоритмов
- •6.1.3.1. Автомат Мили - модель управляющего автомата
- •6.1.3.2. Автомат Мура - модель управляющего автомата
- •6.1.3.3. Микропрограммный автомат
- •6.1.4. Эквивалентность автоматов
- •6.1.5. Эквивалентность внутренних состояний автомата
- •6.1.5.1. Детерминированный автомат
- •6.1.5.2. Недетерминированный автомат
- •6.2. Структурный автомат
- •6.2.1. Произведение автоматов
- •6.2.1.1. Последовательное соединение автоматов
- •6.2.1.2. Параллельное соединение автоматов
- •Обратная связь автоматов
- •6.2.3. Сумма автоматов
- •6.2.4. Структурный автомат и кодирование
- •6.3. Логическое проектирование автоматов
- •6.3.1. Кодирование алфавитов автомата
- •6.3.2. Автоматы без “памяти”.
- •6.3.2.1. Формирование оператора
- •6.3.2.2. Формирование системы операторов
- •Логическая схема комбинационного автомата
- •6.3.3. Автоматы с “памятью”
- •6.3.3.1. Формирование оператора
- •6.3.3.2. Формирование оператора
- •.3.3.3. Логическая схема автомата с “памятью”
- •Вопросы и задачи
- •Литература
- •Предметный указатель
1.5.8.1.Минимизация днф булевой функции
Если в СДНФ булевой функции произвести всевозможные операции обобщённого склеивания: x×FÚ`x×F=x×FÚ`x×FÚF, а затем операции поглощения F1ÚF1×F2=F1, то будет получена сокращённая ДНФ, каждая элементарная конъюнкция которой есть импликанта длины n или (n-1). На втором этапе выполняется операция обобщённого склеивания для импликант длины (n-1), а в результате операции поглощения будут получены импликанты длины (n-1) и/или (n-2). Операции обобщённого склеивания и поглощения выполняются до тех пор пока можно получать импликанты от меньшего числа булевых переменных.Импликанты минимальной длины для булевой функции называются простыми.
Например,
f(x1; x2; x3; x4)=`x1×`x2×`x3×x4Ú`x1×`x2×x3×x4Ú`x1×x2×`x3×x4Ú`x1×x2×x3×x4Ú Úx1×x2×`x3×`x4 Ú x1×x2×x3×`x4Úx1×x2×x3×x4.
первый этап обобщённого склеивания:
f(x1; x2; x3; x4)=`x1×`x2×`x3×x4Ú`x1×`x2×x3×x4 Ú`x1×x2×`x3×x4Ú`x1×x2×x3×x4Ú Úx1×x2×`x3×`x4Ú `x1×`x2×x4Ú`x1×`x3×x4Ú`x1×x3×x4Ú`x1×x2×x4Úx2×x3×x4Úx1×x2×x3 Úx1×x2×x4Úx1×x2×x3×`x4Ú x1×x2×x3×x4;
первый этап поглощения:
f(x1; x2; x3; x4)=`x1×`x2×x4Ú`x1×`x2×`x3Ú`x1×x3×x4Ú`x1×x2×x4Úx2×x3×x4Ú
Úx1×x2× x3 Úx1×x2×`x4;
второй этап обобщённого склеивания:
f(x1; x2; x3; x4)=`x1×`x2×x4Ú`x1×`x3×x4Ú`x1×x3×x4Ú`x1×x2×x4Úx2×x3×x4 Úx1×x2×x3 Úx1×x2×`x4Ú `x1×x4Ú`x1×x4;
второй этап поглощения:
f(x1; x2; x3; x4)=`x1×x4Úx2×x3×x4Úx1×x2×x3Úx1×x2×`x4.
Следующий этап обобщённого склеивания не уменьшает длину ДНФ и числа двоичных переменных. Поэтому на втором этапе получены простые импликанты и тупиковая ДНФ.
Для поиска минимальной ДНФ необходимо удалить из тупиковой ДНФ избыточные простые импликанты. Для этого составляется таблица простых импликант, столбцами которой являются элементарные конъюнкции СДНФ булевой функции - K(i), а строками - простые импликанты тупиковой ДНФ - Kj.
Если Kj входят в число элементов K(i), то на пересечении строки и столбца ставиться 1, в противном случае 0.
Для каждого значения Kj проверяется условие: если Kj(i)®Úl¹jKl(i)º0, то Kj(i) является ядерной импликантой минимальной ДНФ. Этому условию соответствует единственная 1 в столбце для соответствующего Kj. Если в столбце несколько 1, то Kj(i)®Úl¹jKl(i)º1.
Удаляя из таблицы все ядерные импликанты и столбцы K(i), в которых они содержат 1, получим сокращённую таблицу неядерных импликант ДНФ, из числа которых следует выбрать простые импликанты с минимальным набором числа двоичных переменных.
Ядерные импликанты и набор неядерных из числа простых, но покрывающих все “1” таблицы, формирует минимальную ДНФ. В таблице 1.27 представлены простые импликанты тупиковой ДНФ и элементарные конъюнкции СДНФ для рассматриваемого примера.
-
таблица 1.27
Простые импликанты
Kj
Элементарные конъюнкции СДНФ- K(i)
`x1×`x2××`x3×x4
`x1×`x2× x3×x4
`x1×x2×`x3×x4
`x1×x2×x3×x4
x1×x2×`x3×`x4
x1×x2×x3×`x4
x1×x2×x3×x4
`x1×x4
[1]
[1]
[1]
1
0
0
0
x1×x2×x3
0
0
0
0
0
1
1
x1×x2×`x4
0
0
0
0
[1]
1
0
x2×x3×x4
0
0
0
1
0
0
1
Элементами этой таблицы являются “1”, если простая импликанта входит в состав элементарной конъюнкции СДНФ, и “0” – в противном случае. Квадратными скобками выделены те “1”, для которых выполняется условие ядерной импликанты.
Ядерными импликантами являются `x1×x4 и x1×x2×`x4, которые покрывают элементарные конъюнкции СДНФ: (`x1×`x2×`x3×x4), (`x1×`x2×x3×x4), (`x1×x2×`x3×x4), (`x1×x2×x3×x4), (x1×x2×`x3×`x4) и (x1×x2×x3×`x4).
Из множества элементарных конъюнкций осталась непокрытой только одна - (x1×x2×x3×x4) и две неядерных импликанты: (x1×x2×x3) и (x2×x3×x4). Следовательно, возможны два варианта минимальной ДНФ:
fmin(x1; x2; x3; x4)=`x1×x4Úx1×x2×x3Úx1×x2×`x4
fmin(x1; x2; x3; x4)=`x1×x4Úx2×x3×x4Úx1×x2×`x4.