1.6. Алгебра четких множеств

Если подмножества универсального множества U упорядочены отношением (X_i; X_j), то

а) операцию поиска верхней грани двух подмножеств называют объединением, т. е. SupX=(X_iX_j), где символ “” есть оператор объединения,

b) операцию поиска нижней грани двух подмножеств называют пересечением, т. е. InfX=(X_iX_j), где символ ”” есть оператор пересечения,

с) операцию поиска элементов универсального множества U, не принадлежащих множеству X_i, называют дополнением, т.е. X_i={x| xX_i и xU}, где символ “” есть оператор дополнения.

Множество всех подмножеств универсального множества - U вместе с двумя бинарными операциями и одной унарной представляют алгебру множеств, т. е.

A=<B(U), , ,  >,

где B(U) – носитель алгебры, а {; ; } - сигнатура алгебры.

1.6.1. Операции над множествами

Для изображения исполнения отдельных операций обозначим прямоугольником универсальное множество U, а внутри него - кругами - подмножества A, B,... Заштрихованная область будет представлять результат исполнения операции. Такое изображение называют кругами Эйлера.

Объединение множеств А и В есть множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному множеству А или В, т.е.

С=(АВ)={x| xA или xB}.

Оператор объединения имеет вид:

С=union(A, B).

Если В=, то АВ=А=А. Если B=U, то АВ=АU=U.

Если АС и ВС, то

АВС.

Операцию объединения можно распространить на произвольное число подмножеств универсального множества U.

Например, если А₁, А₂, ..А_n U, то А₁А₂...А_n=_i=1ⁿ АⁱU.

Пример: даны множества A={a, b, c}, B={b, c, d, e}.

Найти C= (АВ). Ответ: C={a, b, c, d, e},

т.к. одинаковые элементы множеств записываются в формируемом множестве только один раз.

Пример: даны множества, которым принадлежат подмножества A={{a, b}, c}, B={{b, c, d}, c, d}. Найти C= (АВ).

Ответ: C={{a, b},{b, c, d}, c, d}, т.к. множества {a, b}A, {b, c, d}B.

Пример: даны множества несовместимых кортежей A={(a,b), (b, c)}, B={(b, c), (b, c, d), (c, d)}. Найти C= (АВ).

Ответ: C={(a, b), (b, c), (b, c, d,), (c, d)}.

Пример: даны отображения h¹ и h², представляющие множества совместимых кортежей. Найти h=(h¹h²).

Ответ: если все компоненты совместимых кортежей двух отображений имеют одинаковые значения, то формируется один кортеж (y, x₁, x₂,..x_n), при различии значений хотя бы одной компоненты формируются два кортежа (y⁽¹⁾, x₁⁽¹⁾, x₂⁽¹⁾,..x_n⁽¹⁾) и (y⁽²⁾, x₁⁽²⁾, x₂⁽²⁾,..x_n⁽²⁾).

В таблицах приведены результаты исполнения операции объединения.

h1

y

x1

x2

x3



h2

y

x1

x2

x3

=

h

y

x1

x2

x3

2

b

c

6

3

c

e

2

2

b

c

6

3

c

e

5

5

c

b

2

3

c

e

5

5

c

b

2

4

a

e

5

5

c

b

2

4

a

e

5

2

a

e

6

4

a

e

5

3

c

e

2

2

a

e

6

Пример: даны отношения r¹ и r₂. Найти r=(r¹r²).

Особенностью этой операции является исполнение дизъюнции для каждой позиции матриц смежности отношений r¹ и r², т. е.

r(x_i, x_j)=(r¹(x_i, x_j)r²(x_i, x_j)).

r1	x1	x2	x3	x4		r2	x1	x2	x3	x4		r	x1	x2	x3	x4
x1	1	0	0	0		x1	0	1	1	1		x1	1	1	1	1
x2	0	1	0	1		x2	1	1	0	0	=	x2	1	1	0	1
x3	1	0	1	0		x3	0	1	1	0		x3	1	1	1	0
x4	0	1	1	1		x4	0	0	0	0		x4	0	1	1	1

Пересечение множеств А и В есть множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству А и множеству В: С=(АВ)={x|xA и xB}.

Операторная запись имеет вид: С=intersection(A, B).

Если В=, то А=.

Если B=U, то АU=А.

Если СА и СВ, то САВ.

Операцию пересечения можно раcпространить на произвольное число под- множеств универсального множества U.

Например, если А₁,...А_n U,

то А₁А₂... А_n=

_i=1ⁿ АⁱU.

Пример: даны множества A={a, b, c} и B={b, c, d, e}.

Найти C= (АВ). Ответ: C={b, c}, т. к. b, cA и B.

Пример: даны множества A и B, которым принадлежат подмножества A={{a, b}, c}, B={{b, c, d}, c, d}. Найти C= (АВ).

Ответ: C={c}, т. к. {a, b}B и {b, c, d}, dA.

Пример: даны множества несовместимых кортежей A={(a, b), (b, c)}, B={(b, c), (b, c, d), (c, d)}. Найти C= (АВ).

Ответ: C={(b, c)}, т. к. кортежи (a, b)B, (b, c, d), (с, d)A.

Пример: даны отображения h¹ и h². Найти h=(h¹h²).

Ответ: в таблицах приведены результаты исполнения операции пересечения двух отображений.

h1

y

x1

x2

x3



h2

y

x1

x2

x3

h

y

x1

x2

x3

2

b

c

6

3

c

e

2

=

5

c

b

2

3

c

e

5

5

c

b

2

4

a

e

5

5

c

b

2

4

a

e

5

4

a

e

5

2

a

e

6

Пример: даны отношения r¹ и r². Найти r=(r¹r²).

Особенностью этой операции является исполнение конъюнкции для каждой позиции матриц смежности отношений r¹ и r², т. е. r(x_i, x_j)=r¹(x_i, x_j)r²(x_i, x_j).

В таблице приведены результаты исполнения операции пересечения.

r1	x1	x2	x3	x4		r2	x1	x2	x3	x4		r	x1	x2	x3	x4
x1	1	0	0	0		x1	1	1	1	1		x1	1	0	0	0
x2	0	1	0	1		x2	1	1	0	0	=	x2	0	1	0	0
x3	1	0	1	0		x3	0	1	1	0		x3	0	0	1	0
x4	0	1	1	1		x4	0	0	0	1		x4	0	0	0	1

Дополнение множества А есть множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат универсальному множеству U и не принадлежат множеству А, т.е.

А={x| xU и xA} Операторная запись дополнения имеет вид: А=complement(A).

Если существует А, то

АА=,

АА=U и

(А)=А..

Пример: дано множество A={a, b, c} и универсальное множество U={a, b, c, d, e, f}. Найти C=А.. Ответ: C={d, e, f}.

Пример: дано множество A={{a, b}, c} и универсальное множество U={a, b, {a, b}, c, {d, e}, f}. Найти C=А.

Ответ:C={a, b, {d, e}, f}.

Пример: дано отображение h. Найти h.

h
Y	a1	a2	a3	a1
X1	c2	c1	c1	c2
X2	d3	d1	d2	d1

Для поиска h необходимо найти множество кортежей, совместимых с кортежами h, но отличающихся значением хотя бы одной компонентой. Для этого определяют число элементов n области определения отображения (домен h) и число компонент кортежа k.

Тогда |h|=n(n-1)(n-2)..(n-k+1) -|h|.

Если значения компонент кортежей не выходят за пределы своего атрибута, т. е. |Y|=3, |X₁|=2, |X₂|=3, то |h |=323 – 4=14.

В таблице представлены результаты вычисления кортежей отображения h для этого случая.

h

Y

a1

a1

a1

a1

a2

a2

a2

a2

a2

a3

a3

a3

a3

a3

X1

c1

c1

c1

c2

c1

c1

c2

c2

c2

c1

c1

c2

c2

c2

X2

d1

d2

d3

d2

d2

d3

d1

d2

d3

d1

d3

d1

d2

d3

Примечание: таблица размещена горизонтально.

Пример: дано отношение r. Найти r.

Согласно правилу:

Ответ: в матрицах смежности r и r приведены результаты исполнения этой операции.

r	x1	x2	x3	x4		r	x1	x2	x3	x4
x1	0	1	1	1		x1	1	0	0	0
x2	1	0	1	0		x2	0	1	0	1
x3	0	1	0	1		x3	1	0	1	0
x4	1	0	0	0		x4	0	1	1	1

Операции дополнения, пересечения и объединения формируют две дополнительные операции: разности и симметрической разности.

Разность множеств А и В есть множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В, т.е. С=(А\В)={x| xА и xВ},

где “\” - символ разности.

Оператор разности имеет вид: С=difference(A, B).

Очевидно, что С=(А\В)=(А(В)).

Пример: даны множества A={a, b, c} и B={b, c, d, e}.

Найти C= (А\В).

Ответ: C={a}, т.к. элементы b, сB.

Пример: даны множества A={{a, b}, c} и B={{b, c, d}, c, d}.

Найти C= (А\В).

Ответ: C={a, b}, т.к. элемент сB.

Пример: даны множества A={(a,b), (b, c)} и B={(b, c), (b, c, d),

(c, d)}. Найти C= (АВ).

Ответ: C={(a, b)}, т. к. кортеж (b, c)B.

Пример: даны отображения h₁ и h₂. Найти h=(h₁\h₂).

Ответ: в таблицах приведены результаты исполнения этой операции.

h1

y

x1

x2

x3

\\

h2

y

x1

x2

x3

=

h

y

x1

x2

x3

2

b

c

6

3

c

e

2

2

b

c

6

3

c

e

5

5

c

b

2

3

c

e

5

5

c

b

2

4

a

e

5

4

a

e

5

2

a

e

6

Пример: даны отношения r₁ и r₂. Найти r=(r₁\r₂).

Ответ: особенность исполнения этой операции состоит в том, что r(x_i, x_j)=(r₁(x_i, x_j)r₂(x_i, x_j)). Следовательно, необходимо найти r₂ и выполнить операцию пересечения r₁ и r₂. В таблицах приведены результаты исполнения этой операции.

r1	x1	x2	x3	x4		r2	x1	x2	x3	x4		r	x1	x2	x3	x4
x1	1	0	0	0		x1	0	1	1	1		x1	1	0	0	0
x2	0	1	0	1	\	x2	1	1	0	0	=	x2	0	0	0	1
x3	1	0	1	0		x3	0	1	1	0		x3	1	0	0	0
x4	0	1	1	1		x4	0	0	0	0		x4	0	1	1	1

С имметрическая разность множеств А и В есть множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат разности (А\В) или (В\А), т. е.

С=(АВ)=(АВ)(ВА) .

Оператор симметрической разности имеет вид:

С:=union(difference(A, B), difference(B, A)).

Если А=В, то (АВ)=(АВ)(ВА)=.

Пример: даны множества A={a, b, c} и B={b, c, d, e}.

Найти C= (АВ).

Ответ: C={a, d, e}, т.к. b, сA и b, сB.

Пример: даны множества A={{a, b}, c} и B={{b, c, d}, c, d}.

Найти C= (АВ).

Ответ: C={{a, b}, {b, c, d}, d} т.к. сA и сB.

Пример: даны множества A={(a,b), (b, c)} и B={(b, c), (b, c, d),

(c, d)}. Найти C= (АВ).

Ответ: C={(a, b), (b, c, d), (c, d)}, т. к. (b, c)A и (b, c)B.

Пример: даны отображения h₁ и h₂. Найти h=(h₁h₂).

Ответ: в таблицах приведены результаты этой операции.

h1

y

x1

x2

x3



h2

y

x1

x2

x3

=

h

y

x1

x2

x3

2

b

c

6

3

c

e

2

2

b

c

6

3

c

e

5

5

c

b

2

3

c

e

5

5

c

b

2

4

a

e

5

3

c

e

2

4

a

e

5

2

a

e

6

2

a

e

6

Пример: даны отношения r₁ и r₂. Найти r=(r₁r₂).

Ответ: особенность исполнения этой операции состоит в том, что

r(x_i, x_j)=(r₁(x_i, x_j) r₂(x_i, x_j))r₂(x_i, x_j) r₁(x_i, x_j).

В таблицах приведены результаты исполнения этой операции.

r1	x1	x2	x3	x4		r2	x1	x2	x3	x4		r	x1	x2	x3	x4
x1	1	0	0	0		x1	0	1	1	1		x1	1	1	1	1
x2	0	1	0	1		x2	1	1	0	0	=	x2	1	0	0	1
x3	1	0	1	0		x3	0	1	1	0		x3	1	1	0	0
x4	0	1	1	1		x4	0	0	0	0		x4	0	1	1	1