1.3. Отношение

Упорядоченные кортежи, компоненты которых принадлежат одному множеству, называют отношением. Например, (x_i, x_j, x_k,..).

Отношениями между математическими объектами могут быть элементы ₁ = {=, , , , <, }. Например, “2=2”, “32”.

Отношениями между “нематематическими” объектами могут быть элементы ₂ = {”..принадлежит..”, “..часть..”, “..смежный..”, “.. родственник..”, “..родитель..”, “..находится рядом с..”, и т. д.}.

Например, “двигатель <тип> часть автомашины <тип>”, “судно <имя> находится рядом с причалом <номер>”, ”игорь родитель святослава” и т.п.

Отношения, как и отображения, могут быть четким (relation) и и нечеткими (fuzzi relation).

1.3.1. Четкие отношения

Упорядоченные кортежи, сформированные из элементов одного множеств, формируют отношение:

r={(x₁, x₂,..,x_n)| x_iX}Xⁿ.

Если n=1, то отношение называют унарным или одноместным. Такое отношение r(x) равносильно заданию предиката Р(х) на области определения для формирования подмножества, удовлетворяющего заданному условию.

Например, r={x| P(x):=”x-простое число”, для x{1,2, 3,..20}}=

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

Если n=2, то отношение называют бинарным или двухместным. Такое отношение позволяет сравнивать по предикату P(x_i, x_j) элементы множества X.

Например, r={(x_i, x_j)| P₂(x_i, x_j):=”(x_i, x_j ) имеют общий делитель” для x{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}}={(2, 4), (2, 6), (2, 8), (3,6)}.

Если n=3, то отношение называют терарным или трехместным.

Такое отношение позволяет сравнивать по заданному предикату P(x_i, x_j, x_k) элементы множества X.

Например, r={(x_i, x_j, x_k)| P(x_i, x_j, x_k):=”(x_k:=<число>, x_j:=<месяц>, x_k:=<год>)”.

Или r={(x_i, x_j, x_k)| P(x_i, x_j, x_k):=”x_k:= (x_ix_j)” для x{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}} = {(2, 3, 6), (2, 4, 8)}.

Если n=n, то отношение называют n-арным или n-местным.

Отношения удобно представлять в операторной форме:

r: XX или r: X^n-1X.

Бинарные отношения между элементами множества X удобно описывать матрицами (ХХ), строки и столбцы которых есть элементы множества X, а на пересечении i-ой строки и j-го столбца ставят знак “1”, если дано отношение r(x_i, x_j) и “0” в противном случае, т.е.

Пример. между пунктами a, b, c, d, e есть транспортные связи, как показано на рис. 1.2. Эти связи отображены в таблице 1.8.

таблица 1.8.
r	a	b	c	d	e
a	0	1	0	1	0
b	1	0	1	1	0
c	0	1	0	0	1
d	1	1	0	0	0
e	0	1	1	0	0

Если даны два отношения r₁ и r₂, то может быть сформировано их прямое произведение, как новое отношение r=(r₁r₂), носителем которого являются (x_i¹, x_j²)(X₁X₂), a r((x_i¹, x_m²), (x_k¹, x_j²))=1 тогда и только тогда, когда r₁(x_i¹, x_k¹)=1 и r₂(x_m², x_j²)=1.

r=(r₁r₂)={((x_i¹, x_m²⁾, (x_k¹, x_j²))| x_i¹, x_k¹X₁ и x_m², x_j²X₂}.

Операторная запись прямого произведения имеет вид:

r=product(r₁, r₂).

Анализ множества отношений позволяет выделить свойства, наличие которых характеризует определенный класс отношений.

Бинарное отношение рефликсивно, если для каждого х_iХ имеем r(x_i; x_i)=1. Такими отношениями являются “..=..”, “..быть похожим..”, “..быть изоморфным..”, “..быть эквивалентным..” и т.п. При матричном описании такого отношения на главной диагонали матрицы будут только “1”, т.е. r(x_i, x_i)=1.

Бинарное отношение антирефлексивно, если для каждого х_iХ имеем r(x_i, x_i)=0.

Такими отношениями являются “.... ”, “..<..”, “..быть родителем..”, “..быть частью..” и т.п..

При матричном описании такого отношения на главной диагонали матрицы будут только “0”, т.е. r(x_i, x_i)=0.

Бинарное отношение симметрично, если для любой пары (x_i, x_j)R при ij имеем r(x_i, x_i)=r(x_j, x_i)=1. Такими отношениями являются “....”, “..быть похожим..”, “..быть эквивалентным..”, “..быть родственником..” и т.п.. При матричном задании такого отношения будет симметричное расположение “1” относительно главной диагонали, т.е. r(x_i, x_i)=r(x_j, x_i).

Бинарное отношение антисимметрично, если для любой пары (x_i, x_j) при ij имеем r(x_i, x_i)r(x_j, x_i), а при i=j имеем r(x_i, x_i)=1. Такими отношениями являются “....”, “....” и т.п.. При матричном задании такого отношения это означает несимметричное расположение “1” относительно главной диагонали и наличие “1” на главной диагонали.

Бинарное отношение асимметрично, если для любой пары (x_i, x_j) при ij имеем r(x_i, x_i)r(x_j, x_i), а при i=j имеем r(x_i, x_i)=0.. Такими отношениями являются “....”, “..<..”, “быть родителем” и т.п. При матричном задании такого отношения это означает несимметричное расположение “1” относительно главной диагонали и наличие “0” на главной диагонали.

Бинарное отношение транзитивно, если для любых элементов x_i, x_j, x_kХ r(x_i, x_i)=1 тогда и только тогда, когда r(x_i, x_k)=1 и

r(x_k, x_i)=1. Такими отношениями являются “....”, “..<..”, “быть родителем”, “быть родственником” и т.п..

Наиболее изученными классами отношений являются отношения эквиваленции, частичного и строгого порядка.

Бинарное отношение, удовлетворяющее условиям рефлексивности, симметричности и транзитивности формируют класс отношений эквиваленции.

Такими отношениями являются “..=..”, “..быть похожим..”, “..быть родственником..”.

Отношение эквиваленции обозначают r_~(x_i, x_i) или ~(x_i, x_i). Это отношение позволяет выделять из множества Х классы элементов по образцу х_, т.е.

K_ ={x| r_~(x, x_)=1, x, x_X}X.

Формирование классов эквиваленции K_1, K_2,...K_n разбивает все множество Х на подмножества, т.е.

Х={Х_1, Х_2,..,Х_n}.

Бинарные отношения, удовлетворяющие условиям рефлексивности, антисимметричности и транзитивности формируют класс отношений частичного порядка.

Такими отношениями являются “....”, “....”, “..быть не старше..” и т.п.

Отношение частичного порядка обозначают для элементов r_(x_i, x_i) или ( x_i, x_i), а для подмножеств r_(X_i, X_j) или (X_i, X_j). Отношение (x_i, xj) позволяет установить частичный порядок элементов множества X, а отношение (X_i, X_j) – частичный порядок подмножеств множества X.

Пример: даны множества U={1, 2, 3, 4, 5, 6}, X₁={1, 2, 3, 4}, X₂={2, 3, 4, 5}, X₃={2, 3, 4}, X₄={3, 4, 5}, X₅={2, 3}, X₆={3, 4}, X₇={4, 5},

X₈={2, 4}. Какой между ними может быть установлен порядок?

Анализ следует начинать с множеств, имеющих наименьшее число элементов. Тогда X₈X₃X₂U или X₈X₃X₁U, X₇X₄X₂U, X₆X₄X₂U или X₆X₃X₂U или X₆X₃X₁U, X₅X₃X₂U, X₅X₃X₁U.

Бинарное отношение, удовлетворяющее условиям антирефлексивности, асимметричности и транзитивности, формирует класс отношений строго порядка.

Такими отношениями являются “....”, “..<..”, “..быть родителем..”, “быть частью”, “быть подчиненным” и т.п. Отношение строгого порядка для элементов множества r_<(x_i; x_i) или <(x_i; x_i), а для подмножеств множества: r_(X_i; X_j) или (X_i; X_j).

Примерами строгого порядка являются целые числа, упорядоченные правилом n=(n+1), или буквы, упорядоченные алфавитом, и т.п.