- •Оглавление
- •Глава 1. Алгебраические системы 17
- •Глава 2. Элементы комбинаторики 88
- •Глава 3. Основы теории графов 101
- •Глава 4. Основы математической логики 169
- •4.1.1.4. Эквивалентные преобразования формул 179
- •4.1.4. Выполнить подстановку: 247
- •Глава 5. Основы теории алгоритмов 252
- •Глава 6. Конечные автоматы 289
- •Введение
- •Глава 1. Алгебраические системы
- •1.1 Множества
- •1.1.1. Четкие множества
- •1.1.2. Нечеткие множества
- •1.2. Соответствия, отображения и функции
- •1.2.1. Четкие отображения и функции
- •1.2.2. Нечеткие отображения
- •1.3. Отношение
- •1.3.1. Четкие отношения
- •1.3.2. Нечеткое отношение
- •1.4. Элементы общей алгебры
- •1.5. Булева алгебра
- •1.5.1. Булевы операции
- •1.5.2. Законы булевой алгебры
- •1.5.3. Формула булевой функции
- •1.5.4. Описание булевой функции
- •1.5.5. Суперпозиция булевых функций
- •1.5.6. Свойства булевых функций
- •1.5.6.1. Самодвойственные булевы функции
- •1.5.6.2. Монотонные булевы функции
- •1.5.6.3. Линейные булевы функции
- •1.5.6.4. Функции, сохраняющие “0”
- •1.5.6.5. Функции, сохраняющие “1”
- •1.5.6.6. Функционально полные системы
- •1.5.7. Разложение булевых функции
- •1.5.7.1. Днф булевой функции
- •1.5.7.2. Кнф булевой функции
- •Алгоритм преобразования формулы к скнф:
- •1.5.8. Минимизация булевых функций.
- •1.5.8.1.Минимизация днф булевой функции
- •1.5.8.2. Минимизация кнф булевой функции
- •1.6. Алгебра четких множеств
- •1.6.1. Операции над множествами
- •1.6.2. Законы алгебры множеств
- •1.6.3. Эквивалентные преобразования формул
- •1.6.4. Композиция отображений и отношений
- •1.6.5. Поиск неизвестного множества
- •1.7. Алгебра нечетких множеств
- •1.7.1. Операции над нечеткими множествами
- •1.7.2. Композиция нечетких отображений
- •1.7.3. Композиция нечетких отношений
- •1.7.4. Свойства нечетких отношений
- •Вопросы и задачи
- •Глава 2. Элементы комбинаторики
- •2.1. Размещение из n элементов по k
- •2.2. Перестановка элементов
- •2.3 Сочетание из n элементов по k
- •2.4. Разбиение множества
- •2. 5 Правила комбинаторики
- •Вопросы и задачи
- •Глава 3. Основы теории графов
- •3.1. Граф и его характеристики
- •3.2. Описание графа
- •3. 3. Числа графа
- •3.4. Операции над графами
- •3.4.1. Унарные операции
- •3.4.1.1 Поиск дополнительного графа
- •3.4.1.2. Введение и удаление вершин графа
- •3.4.1.3. Стягивание вершин графа
- •3.4.1.4. Введение и удаление ребер графа
- •3.4.1.5. Поиск плотности и неплотности графа
- •3.4.1.6. Поиск числа компонент связности графа
- •3.4.1.7. Поиск устойчивости графа
- •3.4.1.8. Поиск цикломатического числа графа
- •3.4.1.9. Поиск хроматического числа графа
- •3.4.2. Бинарные операции
- •3.4.2.1. Объединение графов
- •3.4.2.2. Пересечение графов
- •3.4.2.3. Композиция графов
- •3.4.2.4. Соединение графов
- •3.4.2.5. Прямое произведение графов
- •3.4.2.6. Изоморфизм графов
- •3.5. Некоторые алгоритмы на графах
- •3.5.1. Построение покрывающего остова
- •3.5.2. Построение остова минимального веса
- •3.5.3. Поиск кратчайших путей в сети.
- •3.5.4. Поиск максимального потока в сети
- •3.5.5. Метод критического пути в управлении
- •3.6. Нечеткие графы
- •Вопросы и задачи
- •Глава 4. Основы математической логики
- •4.1. Логика высказываний
- •4.1.1. Алгебра высказываний
- •4.1.1.1. Логические операции
- •4.1.1.2. Правила записи сложных формул.
- •4.1.1.3. Законы алгебры высказываний
- •4.1.1.4. Эквивалентные преобразования формул
- •4.1.1.5. Нормальные формы формул
- •4.1.2. Исчисление высказываний
- •4.1.2.1. Интерпретация формул
- •4.1.2.2. Аксиомы и правила введения и удаления логических связок
- •4.1.2.3. Метод дедуктивного вывода
- •4.1.2.4. Принцип резолюции
- •4. 2. Логика предикатов
- •4.2.1. Алгебра предикатов
- •4.2.1.1. Законы алгебры предикатов
- •4.2.1.2. Предваренная нормальная форма формулы
- •4.2.1.3 Сколемовская стандартная форма формулы
- •4. 2. 2. Исчисление предикатов
- •4.2.2.1. Правила подстановки
- •4.2.2.2. Правила введения и удаления кванторов
- •4.2.2.3. Правила заключения
- •4.2.2.4. Метод дедуктивного вывода
- •4.2.2.5. Принцип резолюции
- •4.2.2.6. Логическое программирование
- •4.3. Логика реляционная
- •4.3.1 Реляционная алгебра
- •4.3.1.1. Унарные операции
- •4.3.1.2. Бинарные операции
- •4.3.1.3. Правила реляционной алгебры
- •4.3.2. Реляционное исчисление
- •4.3.3. Языки реляционной логики
- •4.4. Нечеткая логика
- •4.4.1. Нечеткое исчисление
- •4.4.2. Экспертные системы
- •Вопросы и задачи
- •Глава 5. Основы теории алгоритмов
- •5.1. Рекурсивные функции
- •5.1.1. Базовые функции
- •5.1.2. Элементарные операции
- •5.2. Машина Тьюринга
- •5.2.1. Описание машины Тьюринга
- •5.2.2. Примеры машин Тьюринга
- •5.2.3. Композиция машин Тьюринга
- •5.3. Нормальные алгоритмы Маркова
- •5.4 Сложность вычислений
- •Вопросы и задачи
- •Глава 6. Конечные автоматы
- •6.1. Абстрактный автомат
- •6.1.1. Типы конечных автоматов
- •6.1.2. Описание автоматов
- •6.1.3. Автоматное моделирование алгоритмов
- •6.1.3.1. Автомат Мили - модель управляющего автомата
- •6.1.3.2. Автомат Мура - модель управляющего автомата
- •6.1.3.3. Микропрограммный автомат
- •6.1.4. Эквивалентность автоматов
- •6.1.5. Эквивалентность внутренних состояний автомата
- •6.1.5.1. Детерминированный автомат
- •6.1.5.2. Недетерминированный автомат
- •6.2. Структурный автомат
- •6.2.1. Произведение автоматов
- •6.2.1.1. Последовательное соединение автоматов
- •6.2.1.2. Параллельное соединение автоматов
- •Обратная связь автоматов
- •6.2.3. Сумма автоматов
- •6.2.4. Структурный автомат и кодирование
- •6.3. Логическое проектирование автоматов
- •6.3.1. Кодирование алфавитов автомата
- •6.3.2. Автоматы без “памяти”.
- •6.3.2.1. Формирование оператора
- •6.3.2.2. Формирование системы операторов
- •Логическая схема комбинационного автомата
- •6.3.3. Автоматы с “памятью”
- •6.3.3.1. Формирование оператора
- •6.3.3.2. Формирование оператора
- •.3.3.3. Логическая схема автомата с “памятью”
- •Вопросы и задачи
- •Литература
- •Предметный указатель
1.7.3. Композиция нечетких отношений
Если даны r’1={r’(xi, xj)/(xi, xj)} и r’2={r’(xj, xk)/(xj, xk)}, то их композиция есть r’=(r’1r’2)={r’(xi1, xk2)/(xi1, xk2)}, степень принадлежности которому существует тогда и только тогда, когда существует хотя бы один элемент xj, принадлежащий r’1 и r’2:
r’(xi1, x k2)= j=1j=m(r’1(xi1, xj1)r’2(xj2, xk2))=
max{min(r’1(xi1, xj1); r’2(xj2, xk2)}.
Пример: даны отношения r’1 и r’2. Найти r’=(r’1r’2).
r’1 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
r’2 |
x1 |
x 2 |
x3 |
x4 |
|
|
||||||||||||||||
x1 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,3 |
|
x1 |
0,4 |
0,2 |
0,8 |
0,9 |
|
|
||||||||||||||||
x2 |
0,3 |
0,5 |
0,7 |
0,5 |
|
x2 |
0,5 |
0,7 |
0,3 |
0,7 |
= |
|
||||||||||||||||
x3 |
0,2 |
0,5 |
0,4 |
0,7 |
|
x3 |
0,5 |
0,2 |
0,6 |
0,5 |
|
|
||||||||||||||||
x4 |
0,3 |
0,6 |
0,9 |
0,9 |
|
x4 |
0,4 |
0,7 |
0,8 |
0,3 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Ответ: в таблицах приведены результаты исполнения этой операции.
|
|
r |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
x1 |
0,5 |
0,4 |
0,6 |
0,5 |
|
|
|||||||||||||||||||||
= |
x2 |
0,5 |
0,5 |
0,6 |
0,5 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x3 |
0,5 |
0,7 |
0,7 |
0,5 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x4 |
0,5 |
0,7 |
0,8 |
0,6 |
|
|
1.7.4. Свойства нечетких отношений
Для нечетких отношений также можно выделить свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности, чтобы формировать классы нечетких отношений. Однако для этого необходимо прежде всего вычислить степени нечеткости этих свойств.
Степенью рефлексивности нечеткого отношения (r’)ref называется величина, определяемая выражением
(r’)ref=xi&r’(xi, x i)= imin{r’(xi, x i)}.
Отношение r’ называют нечетко рефлексивным, если (r’)ref0,5.
Отношение r’ называют нечеткого нерефлексивным, если (r’)ref0,5.
Степенью антирефлексивности нечеткого отношения (r’)ref называется величина, определяемая выражением
(r’)ref=xi&(r’(xi, x i))= imin{(1-r’(xi, x i))}.
Отношение r’ называют нечетко антирефлексивным, если (r’)ref0,5.
Отношение r’ называют нечетко неантирефлексивным, если (r’)ref0,5.
Степенью симметричности нечеткого отношения (r’)sym называется величина, определяемая выражением
(r’)sym =xi&(r’(xi, x j)r’(xj, x i)=&((r’(xi, x j))r’(xj, x i))=
imin{jmax{(1-r’(xi, x j)), r’(xj, x i)}}.
Отношение r’ называют нечетко симметричным, если (r’)sym0,5.
Отношение r’ называют нечеткого несимметричным, если (r’)sym0,5.
Степенью антисимметричности нечеткого отношения (r’)sym называется величина, определяемая выражением
(r’)sym =i, j&(r’(xi, x j)&r’(xj, x i))= i, j&(r’(xi, x j)r’(xj, x i))=
imin{jmax{(1-r’(xi, x j)), (1-r’(xj, x i)}}.
Отношение r’ называют нечетко антисимметричным, если (r’)sym0,5.
Отношение r’ называют нечеткого неантисимметричным, если (r’)sym0,5.
Степенью транзитивности нечеткого отношения (r’)tr называется величина, определяемая выражением
(r’)tr =i, j, k&((j(r’(xi, x j)&r’(xj, x k)r’(xi, x k))))=
kmin{imax{i,kmin{jmax{(1-r’(xi, x j)), (1-r’(xj, x k)}}, r’(xi, x k)}}.
Отношение r’ нечетко транзитивно, если (r’)tr 0,5.
Отношение r’ нечетко нетранзититвно, если (r’)tr 0,5.
Отношение r’, для которого (r’1)ref 0,5, (r’1)sym 0,5 и (r’1)tr 0,5, есть отношение нечеткой эквиваленции.
Степень нечеткой эквивалентности определяется выражением:
(r’)=(r’)ref&(r’)sym&(r’)tr=min{(r’)ref,(r’)sym, (r’)tr}0,5.
Отношение r’, для которого (r’)ref 0,5, (r’)sym 0,5,
(r’)tr 0,5, есть отношение нечеткого нестрогого порядка.
Степень нечеткого нестрогого порядка определяется выражением: (r’)=(r’)ref&(r’)sym&(r’)tr=min{(r’)ref, (r’)sym, (r’)tr}0,5.
Отношение r’, для которого (r’)ref 0,5, (r’)sym 0,5,
(r’)tr 0,5, есть отношение нечеткого строгого порядка.
Степень нечеткого строгого порядка определяется выражением:
(r’)=(r’)ref&(r’)sym&(r’)tr=min{(r’)ref, (r’)sym, (r’)tr}0,5.
Пример: даны отношения r’1 и r’2. Определить тип отношений.
-
r’1
x1
x2
x3
x4
r’2
x1
x2
x3
x4
x5
x1
0,8
0,2
0,7
0,2
x1
0
0
0
0
0,2
x2
0,4
0,6
0,6
0,2
x2
0,7
0,3
0,6
0,8
0,9
x3
0,6
0,7
0,8
0,3
x3
0,7
0,4
0,2
0,8
0,9
x4
0,3
0,1
0,3
0,7
x4
0,8
0
0
0
0,3
x5
1
0
0,1
0,7
0
(r’1)ref=min{0,8; 0,6; 0,8; 0,7}=0,6;
(r’1)ref=min{0,2; 0,4; 0,2; 0,3}=0,2
(r’1)sym=min{0,8; 0,6; 0,8; 0,7; 0,8; 0,7}=0,6;
(r’1)sym=min{0,8; 0,4; 0,8; 0,3; 0,9; 0,7}=0,3;
(r’1)tr=min{0,7; 0,7; 0,7; 0,6; 0,7; 0,7}=0,6;
Следовательно, (r’1)=min{0,6; 0,6; 0,6}=0,6.
Ответ: r’1 есть отношение нечеткой эквивалентности.
(r’2)ref=min{0; 0,3; 0,2; 0; 0}=0;
(r’2)ref=min{1; 0,7; 0,8; 1; 1}=0,7;
(r’2)sym=min{1; 1; 1; 1; 0,4; 0,2; 0,1; 0,2; 0,1; 0,7}=0,1;
(r’2)sym=min{1; 1; 1; 0,8; 0,6; 1; 1; 1; 0,9; 0,7}=0,6;
(r’2)tr=0,7.
Следовательбно, (r’2)=min{0,7; 0,6; 0,7}=0,6.
Ответ: r’2 есть отношение нечеткого строгого порядка.