5.2. Машина Тьюринга

Основные свойства алгоритма дискретности, детерминизма, массовости и результативности позволяют представить процесс вычисления какой-либо числовой функции с помощью математической машины. Эта машина за конечное число шагов из исходных числовых данных в соответствии с заданными правилами может получить искомый числовой результат.

Такая модель алгоритма была предложена английским математиком Тьюрингом в конце 30-х годов прошлого столетия, что почти на два десятилетия опередило появление электронных вычислительных машин и послужило их теоретическим прообразом.

Машина Тьюринга состоит из информационной ленты, считывающей и записывающей головки и управляющего устройства (рис. 5.1).

Информационная лента бесконечной длины представляет собой последовательность ячеек, в каждую из которых записан в точности только один символ из множества символов алфавита V_t={a₁, a₂...a_n}. Последовательность символов на ленте формирует слово =(a₁ a₂ ... a_|). Пробел между словами также является символом множества V_t. Например, #  V_t.

С точки зрения формальных грамматик множество символов алфавита V_t есть множество терминальных символов.

Информационная лента исполняет функции внешней памяти машины Тьюринга.

Считывающая - записывающая головка обозревает одну ячейку информационной ленты, передает информацию о ее содержимом в управляющее устройство, и по указанию последнего сохраняет или изменяет содержимое ячейки.

Управляющее устройство представляет собой механизм, который на каждом шаге вычисления находится в одном из множества состояний Q = {q₁, q₂,...q_m}. В зависимости от состояния q_i и считанного символа a_j управляющее устройство формирует команду на стирание или запись нужного символа в обозреваемую ячейку, перевод управляющего устройства в новое состояние и перемещение головки на соседнюю ячейку информационной ленты. Понятие "состояние" формирует "память машины Тьюринга", т.е. учет всех промежуточных состояний, которые привели машину в текущее состояние q_i. Поэтому множество состояний управляющего устройства называют внутренней памятью машины Тьюринга. С позиции формальных грамматик множество символов состояний управляющего устройства есть множество нетерминальных символов. Среди всех состояний управляющего устройства следует выделить q_o— начальное состояние ("старт") и q_k — конечное состояние, ("стоп"), что облегчит формализацию протоколов машин Тьюринга и их композицию.

Для формализации перемещений головки относительно информационной ленты введем дополнительный алфавит D = {П, Л, С}, где П — означает перемещение головки вправо на одну ячейку информационной ленты, Л — влево на одну ячейку и С — останов.

Работа машины Тьюринга состоит в многократном повторении следующего цикла элементарных действий:

действие первое: считывание символа a_j, находящегося под считывающей головкой;

действие второе: поиск команды, отвечающей текущему состоянию управляющего устройства q_i, и считанному символу a_j , т.е.

q_j a_j => q_| a_m D;

действие третье: исполнение найденной команды, т.е. запись в обозреваемую ячейку символа a_m, перевод управляющего устройства в состояние q_i и перемещение головки на соседнюю ячейку информационной ленты D.

Эти три действия формируют элементарный шаг алгоритмического процесса.

Последовательность команд для реализации процесса вычисления формирует протокол машины Тьюринга или программу алгоритмического процесса.

Следует отметить, что никакие две команды не могут иметь одинаковую пару текущего состояния q_i и считываемого символа a_j, т.е. (q_i a_j). Машина Тьюринга останавливается только в том случае, если на очередном шаге управляющее устройство генерирует состояние q_k Результатом работы машины Тьюринга будет заключительное слово на информационной ленте