3.6. Нечеткие графы

Во многих практических задачах невозможно установить четкую принадлежность вершин графу и/или четкие отношения между его вершинами. В этом случае говорят о нечетких графах.

Графы могут быть нечетко ориентированными и нечетко неориентированными.

Нечетко ориентированные графы представляют модели систем, в которых существенным является неправление нечетких связей между элементами. К таким системам относятся нечеткие алгоритмы задач организационно-экономического управления, нечеткие системы каталогов и/или баз данных и т. п.

Нечетко неориентированные графы представляют модели систем, в которых неправление нечетких связей между элементами является несущественным.

Нечеткие графы могут быть заданы в двух формах:

а) G’=<X, r’>, где r’={(x, x_i)/(x, x_i)| x, x_iX} есть нечеткое отношение между вершинами графа,

б) G’=<X, h’>, где h’(x)={(x_j)/x_i | x, x_j X} есть нечеткое отображение множествa вершин графа.

Вершины x и x_i графа G’ называют нечетко смежными, если для r’ имеем 0(x, x_i)1, а для h’(x) имеем 0(x_i)1. Чаще всего рассматривают нечеткую смежность вершин графа при 0,5(x, x_i) или 0,5(x_i).

Вершину x и дугу (x, x_i) называют нечетко инцидентными, если (x, x_i) интерпретируется как степень инцидентности.

Матрица смежности нечеткого графа есть квадратная таблица ||r_{i j}||, строки и столбцы которой помечены вершинами графа, а в позициях матрицы указаны значения (x_i, x_j).

Матрица инциденции нечеткого графа есть прямоугольная таблица, строки которой помечены ребрами для неориентированного графа или дугами для ориентированного, а столбцы вершинами графа. Каждая вершина графа xX характеризуется степенью или валентностью _i, равной числу ребер или дуг, инцидентных данной вершине и имеющих (x_i)0. Для ориентированного графа определяют полустепени исхода - ⁺_i и захода -^-_i . Каждой вершине графа приписывают максимальную степень инциденции (x_i).

Подробное описание нечетких отображений и отношений рассмотрено в 1.3.2, а описание алгебраических операций и преобразований в 1.7.

Пример: пусть дан неориентированный граф G’=<X, r’>, где X={x₁, x₂, x₃, x₄, x₅}.

Множество нечетких отношений и отображений заданы списками: r={0,7/(x₁, x₂), 0,2/(x₁, x₄), 0,1/(x₁, x₅), 0,8/(x₂, x₂), 0,4/(x₂, x₄), 0,8/(x₂, x₅), 0,9/(x₃, x₄), 0,3/(x₃, x₅), 0,2/(x₄, x₄)} и

xi	h’xi
x1	0,7/x2, 0,2/x4, 0,1/x5
x2	0,7/x1, 0,8/x2, 0,4/x4, 0,8/x5
x3	0,9/x4, 0,3/x5
x4	0,2/x1, 0,4/x2, 0,9/x3, 0,2/x4
x5	0,1/x1, 0,8/x2, 0,3/x3

Иногда в нечетком графе между какими-то парами вершин есть несколько дуг или ребер. Такие графы называют нечеткими мультиграфами. Каждое ребро или дуга могут иметь различные степени инциденции с инцидентными им парами вершин (x_i, x_j). Поэтому каждая из них участвует в анализе нечеткого графа отдельно.

Данные нечетких отношений и отбражений примера удобно представить матрицами смежности и/или инциденции, что позволит применить матричные методы в исполнении алгебраических операций.

r’	x1	x2	x3	x4	x5	+i	(xi)		h’	x1	x2	x3	x4	x5
x1	0	0,7	0	0,2	0,1	3	0,8		(x1, x2)	0,7	0,7	0	0	0
x2	0,7	0,8	0	0,4	0,8	4	0,8		(x1, x4)	0,2	0	0	0,2	0
x3	0	0	0	0,9	0,3	2	0,9		(x1, x5)	0,1	0	0	0	0,1
x4	0,2	0,4	0,9	0,2	0	4	0,9		(x2, x2)	0	0,8	0	0	0
x5	0,1	0,8	0,3	0	0	3	0,8		(x2, x5)	0	0,8	0	0	0,8
-i	0,7	0,8	0,9	0,9	0,8				(x3, x4)	0	0	0,9	0,9	0
									(x3, x5)	0	0	0,3	0	0,3
									(x4, x4)	0	0	0	0,2	0
									-i	0,7	0,8	0,9	0,9	0,8