§5. Диффузия

П усть в некотором объеме газа имеет место неоднородность в отношении плотности , причем плотность убывает в направлении оси Х. Предположим,

что плотности на расстоянии влево и вправо от площади , равны соответственно и (Рис.9). Тогда > . Поскольку , где - масса молекулы, одинаковое для всех молекул газа, . Переносимой величиной в случае диффузии является масса, т.е. . Тогда в выражении (4.3)

, .

Окончательно имеем:

. (4.4)

- масса газа, переносимая благодаря диффузии через площадь , перпендикулярной направлению оси Х, за время . В термодинамике необратимых процессов уравнение диффузии определяется эмпирическим законом Фика:

, (4.5)

где D- коэффициент диффузии. Из уравнений (4.4) и (4.5) следует, что коэффициент диффузии определяется следующим выражением:

. (4.6)

Единица измерения коэффициента диффузии в системе СИ .

Рассмотрим, как зависит коэффициент диффузии от термодинамических параметров. Из формулы (4.6) следует, что , поскольку не зависит от давления, а . Таким образом, с ростом давления Р коэффициент диффузии уменьшается. Определим зависимость коэффициента диффузии от температуры. Так как длина свободного пробега практически не зависит от температуры, а , имеем . Кроме того, D зависит от сорта газа, эта зависимость определяется тем, что в выражении для коэффициента диффузии входит молярная масса газа .

§6. Нестационарная диффузия

Рассматриваемый выше процесс диффузии называется стационарным. При стационарной диффузии градиент концентрации остается постоянным, соответственно, остается постоянным и диффузионный поток. Если градиент концентрации изменяется со временем, то диффузия называется не стационарной.

Рассмотрим процесс нестационарной диффузии, когда происходит выравнивание концентрации в следующем простейшем случае.

П усть два сосуда с объемами и соединены между собой трубкой длиной l с площадью сечения и наполнены смесью газов разного состава при одинаковых давлениях и температурах (рис.10). Пусть концентрации интересующей нас компоненты в обоих сосудах равны и . Вследствие диффузии концентрации в обоих сосудах будут выравниваться, т.е. будет убывать со временем разность концентраций

.

Определим, по какому закону происходит это убывание. Из закона Фика, записанного для переносимого числа частиц, имеем:

. (4.7)

Предположим, что концентрация рассматриваемой компоненты мала, так что можно положить:

.

В процесс диффузии молекулы интересуемой компоненты будут переходить из сосуда I в сосуд II. За бесконечно малый промежуток времени число молекул, продиффундировавших в сосуд II равно:

.

Из-за такого перехода молекул их плотность в сосуде I уменьшается на некоторую величину , а в сосуде II увеличивается на величину , причем

.

Поэтому концентрация молекул в сосудах I и II через время станут равными:

.

Следовательно, разность концентраций станет равной:

.

Поставив в это выражение значение из (4.7), получим:

.

Отсюда следует, что изменение концентрации за время равно:

.

Величину называют приведенным объемом. Следовательно,

.

Разделяя переменные, имеем:

. (4.8)

После интегрирования (4.8), получим:

.

С - постоянная интегрирования. Последнее выражение можно переписать в виде:

. (4.9)

Постоянную интегрирования С легко найти, если известна начальная разность концентраций в момент времени . Подставляя эти условия в (4.9), получим:

.

Тогда

. (4.10)

Согласно формуле (4.10) разность концентраций убывает со временем по экспоненциальному закону и тем быстрее, чем больше значение величины , которое для данного опыта является постоянной величиной. Величина , обратная этой постоянной , имеет размерность времени. При времени разность концентраций становится равной , т.е. уменьшается в раз по сравнению с начальной. Уравнение (4.10) можно переписать:

.