Скорость газовых молекул

Введём понятие среднеквадратичной скорости _ср.кв., определив следующим образом:

Тогда из уравнения (3.11) получим выражение для среднеквадратичной скорости

, (3.14)

которая для данного газа зависит только от температуры. Отметим, что в этой формуле m-это масса одной частицы.

Перепишем формулу (3.14), используя следующие преобразования

. (3.15)

Здесь m=mN_A – молярная масса газа. Так как для одного моля идеального газа RТ=PV, а , где – плотность газа, имеем

. (3.16)

Выражение (3.16) не означает, что _ср.кв. зависит от давления газа и его плотности. В это уравнение входит отношение , а так как давление и плотность изменяются одинаково, то их отношение не зависит ни от плотности, ни от давления.

Скорость _ср.кв. того же порядка, что и скорость звука в газе, которая определяется как

,

где g - адиабатическая постоянная.

Обе скорости связаны соотношением

.

Из формулы (3.15) для молекулярного водорода (m=2,016кг/кмоль) при температуре 0^oС получим следующее значение .

§3. Броуновское движение

Одним из наиболее убедительных подтверждений основ молекулярно-кинетической теории является броуновское движение. Это явление было открыто в 1827 году английским ботаником Броуном. Оно заключается в том, что все мельчайшие частицы, взвешенные в жидкости, находятся в непрерывном движении. Характер броуновского движения зависит от свойств жидкости и газа, в которых взвешены частицы, но не зависит от свойств вещества самих частиц. Скорость движения броуновских частиц возрастает с повышением температуры и с уменьшением размеров частиц. Все эти закономерности легко объяснить, если мы примем, что движения взвешенных частиц возникают вследствие ударов, испытываемых ими со стороны беспорядочно движущихся молекул жидкости или газа, в которых они находятся.

Броуновское движение объясняется тем, что благодаря хаотичному движению молекул, число ударов молекул на взвешенную частицу с разных сторон не будет одинаковым, в результате возникает некоторая равнодействующая сила определенного направления. Это приводит к движению броуновской частицы по направлению этой силы. Через короткий промежуток времени направление равнодействующей силы изменится и вместе с тем изменится направление движения частицы. Отсюда следует хаотичное движение броуновских частиц, отражающая хаотичность молекулярного движения. Вероятность возникновения равнодействующей силы, связанной ударами молекул о частицу тем больше, чем меньше размеры частиц.

Рассмотрим количественную теорию броуновского движения, созданную Эйнштейном и независимо Смолуховским.

Вследствие неполной компенсации ударов молекул на броуновскую частицу действует, как мы указали выше, некоторая результирующая сила , под действием которой и частица движется. Кроме этой силы на частицу действует сила трения , вызванная вязкостью среды и направленная против силы . Для простоты предположим, что броуновские частицы имеют форму сферы радиуса . Тогда сила трения может быть выражена формулой Стокса:

, (3.17)

где - коэффициент вязкости среды, - скорость движения частицы. Уравнение движения частицы запишется в виде:

. (3.18)

Здесь - масса частицы, - радиус-вектор относительно произвольной системы координат, - скорость частицы.

Рассмотрим проекцию радиус-вектора на ось Х. Для этой составляющей уравнение (3.18) перепишется в виде:

, (3.19)

где - проекция результирующей силы на ось Х.

Наша задача определить смещение броуновской частицы, которое она получит под действием ударов молекул. Различные частицы получают смещение, отличающиеся как по величине, так и по направлению. Вероятное значение суммы смещений всех частиц равно нулю, так как смещения с одинаковой вероятностью могут быть как положительными, так и отрицательными. Среднее значение смещения частиц также будет также равно нулю. Но не будет равно нулю среднее значение квадрата смещения . Преобразуем уравнение (3.19) так, чтобы в него входила величина . Для этого умножим обе части этого уравнения на :

. (3.20)

Используем очевидные тождества:

.

Поставив это выражение в (3.20), получим:

.

Это равенство для любой частицы и поэтому она справедлива также для средних значений входящих в него величин, если усреднение вести по достаточно большому числу частиц. Поэтому можно записать:

.

- среднее значение квадрата составляющей скорости частицы по оси Х. Для большого числа частиц и одинаково часто принимают как положительные, так и отрицательные значения, поэтому . Уравнение (3.19) примет вид:

. (3.21)

Так как движения частиц вполне хаотичны, средние значения квадратов составляющих скорости по всем трем координатным осям должны быть равны друг другу, т.е.

.

Очевидно, что

,

где - среднее значение квадрата скорости частицы, откуда следует

.

Таким образом, интересующее нас выражение, входящее в (3.21), равно:

,

где - средняя кинетическая энергия броуновской частицы.

Сталкиваясь с молекулами жидкости или газа, броуновские частицы обмениваются с ними энергией, и находятся в тепловом равновесии со средой, в которой они находятся. Поэтому средняя кинетическая энергия поступательного движения броуновской частицы должны быть равна средней кинетической энергии молекул жидкости или газа, которая равно, как известно, :

.

Следовательно

. (3.22)

Учитывая (3.22), уравнение (3.21) перепишется в виде:

. (3.23)

Это уравнение легко интегрируется. Обозначив , получим:

.

После разделения переменных, имеем:

.

Интегрируя левую часть этого уравнения в пределах от 0 до z, а правую от 0 до t, получим:

.

Или

.

Отсюда

.

Из этого выражения получим, что

.

Величина ничтожно мала, если отрезок времени между последовательными наблюдениями за частицей превышает 10^-5 сек., что, конечно, всегда имеет место. Тогда можем записать:

. (3.24)

Для конечных промежутков времени и соответствующих перемещений , уравнение (3.24) можно переписать в виде:

.

Тогда

. (3.25)

Среднее значение квадрата смещения броуновской частицы за промежуток времени вдоль оси Х или другой любой оси, пропорционально этому промежутку времени. Формула (3.25) позволяет вычислить средние значения квадрата перемещений по всем частицам, участвующим в явлении. Но эта формула справедлива и для среднего значения квадрата многих последовательных перемещений одной единственной частицы за равные промежутки времени.