Вопрос 50

З акон Ома в операторной форме. Пусть имеется некоторая ветвь m – n (рис. 6.5), выделенная из некоторой сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые. Для мгновенных значений переменных можно записать:

. Тогда на основании приведенных соотношений получим: ,

где Z(p) = R + Lp + 1/Cp – операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.

Следует обратить внимание, что операторное сопротивление Z(p) соответствует комплексному сопротивлению Z(j) ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на j.

Законы Кирхгофа в операторной форме. Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая  сумма  изображений  токов, сходящихся в узле, равна нулю .

Второй  закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма изображений  ЭДС,  действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура: .

В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 6.6 для двух случаев:

1) u_C(0) = 0; 2) u_C(0)  0.

В первом случае в соответствии с законом Ома

.

Тогда

.

Во втором случае, т.е. при u_C(0) 0, для цепи на рис. 6.6 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 6.7. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например методом контурных токов:

Рис. 6.6 Рис. 6.7

откуда ,

Вопрос 51

Вопрос 52

Ч астотными функциями (характеристиками) цепи удобно пользоваться, когда входные сигналы являются гармоническими или представляются их суммой. В тех случаях, когда это не выполняется, удобнее пользоваться операторным представлением сигналов, а характеристики цепей представлять их операторными функциями (рис. 5.35).

Операторная функция цепи Н(р) есть отношение операторного представления отклика цепи к операторному представлению воздействию

,где – комплексная частота.

Названия операторных функций аналогичны названиям частотных характеристик (например, операторная функция коэффициента передачи напря-жений).

Законы Ома и Кирхгофа, когда напряжения и токи представляются их операторными представлениями, называются законами Ома и Кирхгофа в операторной форме.

– операторное сопротивление двухполюсника (рис. 5.36).

Для расчета операторной функций цепи необходимо от исходной схемы электрической цепи перейти к операторной схеме замещения, при этом сопротивление, емкость и индуктивность замещаются на операторные сопротивления, как показано на рис. 5.37.

U(p)

I(p)

Z(p)

Z_R = R

R

С

Z_С =

1

pC

L

Z_L = pL

Рис. 5.36 Рис. 5.37

Для расчета операторной функции можно пользоваться всеми теми же методами, что рассматривались раньше для расчета цепей с использованием комплексных амплитуд. Подробный анализ показывает, что операторный коэффициент передачи можно получить на основе комплексного коэффициента передачи. Для этого вместо jω нужно поставить переменную р, т.е. Н(р) = Н(jω)|_jω = p. Отметим, что перед такой подстановкой комплексный коэффициент передачи нельзя подвергать каким либо преобразованиям, при которых мнимые единицы j перемножаются или сокращаются.

Если известна частотная характеристика цепи Н(jω) = Н(р), то в общем случае она представляется отношением двух полиномов

. Корни числителя называются нулями операторной функции .

Корни знаменателя называются полюсами операторной функции. . Нули и полюсы изображают точками на комплексной плоскости (рис. 5.38). Такой график называют картой нулей и полюсов. Свойства операторной функции оценивают по расположению нулей и полюсов на комплексной плоскости комплексной частоты.