Вопрос №30

Так как преобразования Фурье и Лапласа схожи, рассмотрим свойства только преобразования Фурье.

1) Спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов, т.е.

S ₁(t)  S₁(jω); S₂(t)  S₂(jω); S(t) = S₁(t)+S₂(t)  S(jω) = S₁(jω) + S₂(jω).

Это вытекает из свойства линейности преобразования Фурье.

2) Спектр сигнала, сдвинутый по оси времени на время t_з (время задержки), равен спектру исходного сигнала, помноженного на множитель , т.е. если S₁(t) S(jω), то S₂(t) = S₁(t – t_з)  S₁(jω) .

На рис. 2.16 приведены сигналы: без временного сдвига (рис. 2.16, а), сигнал с задержкой на время t₀ (рис. 2.16, б) и сигнал с опережением на время t₀ (рис. 2.16, в).

3) Изменение масштаба сигнала по оси времени приводит к изменению масштаба его спектра по оси частот

s₁(t)  S₁(jω); s₂(t) = S₁(αt); s₂(t) = S₁(jω /α).

Если α > 1, то сигнал сжимается по оси времени, что приводит к растяжению его спектра по оси частот.

Если 0 < α <1, то сигнал растягивается по оси времени, а его спектр сжимается по оси частот.

Пример: s₁(t) = cos ωt; s₂(t) = cos 2ωt.

4) Дифференцирование сигнала эквивалентно умножению его спектра на множитель jω.

Пусть сигнал s₁(t) имеет спектральную плотность S₁(jω), (s₁(t) → S₁(jω)), тогда s₂(t) = d (S₁(t))dt; S₂(j) = j S₁(jω).

При дифференцировании выделяются высокочастотные составляющие спектра сигнала, а низкочастотные ослабляются, так как имеют малый масш-табный множитель.

5) Интегрирование сигнала эквивалентно умножению спектра на множитель 1/jω.

Пусть сигнал s₁(t) имеет спектр S₁(j), (s₁(t)  S₁(jω)), тогда

s₂(t) =  s₁(t) dt; S₂(j) = (1/j) S₁(jω)).

При интегрировании выделяются низкочастотные составляющие, а высокочастотные подавляются.

Вопрос №31

Векторное представление сигналов – это представление сигнала вектором на комплексной плоскости. При расчетах удобно использовать следующие понятия о гармоническом сигнале.

а) Комплексное гармоническое колебание – гармонический комплекс:

s (t) = А_m e ^j(ωt+φ) = A_m e ^jωt,

г де e ^jωt – множитель вращения. На комплексной плоскости гармонический комплекс представляется вектором А_m c начальной фазой φ₀, вращающимся против часовой стрелки с частотой ω.

б) Гармоническое колебание s(t) = A_mcos(ωt+φ₀) = Re{A_m e ^jφ}. На комплексной плоскости гармоническое колебание представляется проекцией вращающегося с частотой ω против часовой стрелки вектора гармонического комплекса на реальную ось (рис. 2.10).

в ) Комплексная амплитуда . На комплексной плоскости она представляется в виде неподвижного вектора с амплитудой A_m и начальной фазой ₀.

Спектральное и операторное представление сигнала рассмотрим подробнее в разд. 2.3 и 2.4.

Вопрос №32

При комплексном представлении гармоническое колебание как функция времени заменяется комплексной амплитудой, т.е. комплексным числом, не зависящим от времени. Это делается для упрощения записи и выполнения операций над гармоническими функциями.

Вспомним комплексные числа. Z – комплексное число. Его можно записать в одной из трех форм: алгебраической, показательной и тригонометрической.

Z = a + jb = ,

где a = Re [Z] = A cos ; b = Im[Z] = A sin.

Re [Z]  – реальная часть, Im[Z]  – мнимая часть комплексного числа Z .

А – mod[Z] – модуль комплексного числа Z, или А = (а²+b²)^1/2 – длина векторов комплексного числа.

φ = arg[Z] – аргумент комплексного числа Z, или φ = arctg(b/a) – начальная фаза.

Переход от одной формы записи косинусоидальной функции к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:

.

Н а рис. 2.9 показано геометрическое представление комплексного числа на комплексной плоскости. Его можно представлять точкой построенной в декартовой (с координатами Re [Z], Im[Z] ) или вектором в полярной системе координат (с координатами А – длина вектора и φ – начальная фаза). 

Выражение А_me^j(ωt+φ) называют комплексом гармонической функции. Тогда, учитывая, что

А_mcosφ = Re{А_me^jφ},

можно записать

.

К омплексную величину называют комплексной амплитудой гармонического сигнала, а е^jωt – множителем вращения. Комплексная амплитуда содержит информацию о двух важнейших параметрах гармонического сигнала – об амплитуде и начальной фазе. Комплексная амплитуда и гармоническая функция времени при известной частоте ω связаны взаимноодно- значно, т.е.

.

Например, гармоническому колебанию u(t) = 256 cos(2π100t – 45) соответствует комплексная амплитуда _m = 256 e^–j45. Справедливо и обратное.