Вопрос 63-65
Схема последовательного колебательного контура приведена на рис. 6.26, а.
Для расчета переходной характеристики установим связь между выходным u2 и входным u1 напряжениями. Входной сигнал имеет вид ступенчатого напряжения , тогда переходная характеристика h(t) находится из выражения h(t) = u2(t)/E, где u2(t) – выходное напряжение.
б
а
u1(t)
R
C
C
R
u2(t)
L
u2()
= E
E
L
C
R
u2(0)
= 0
E
L
i(0)
= 0
в |
Рис. 6.26 |
Задачу будем решать классическим способом. За переменную в составляемом уравнении выбираем переменную, характеризующую энергетическое состояние цепи и наиболее просто связанную с выходным сигналом. Такой переменной является напряжение на конденсаторе uС(t) = u2(t).
1) Составим дифференцирующее уравнение относительно переменной состояния цепи и приведем его к стандартному виду.
Данная цепь представляет контур, а потому, используя второй закон Кирхгофа и соотношения между напряжениям и токами на элементах схемы, запишем:
;
,
.
Отсюда
;
.
Подставим полученные напряжения в первое выражение:
.
Поделим
на LC
и введем обозначения
.
Получим
.
2) Запишем общее решение.
Оно зависит от выходного сигнала. Если выходной сигнал ступенчатый, то отклик записывается так:
.
3)
Найдем вынужденную составляющую общего
решения
.
Для
этого составим схему замещения исходной
цепи при t
∞,
(рис. 6.26, б),
из которой и получим, что u2(=0)= E.
4) Найдем показатели экспоненты р1 и p2.
Коэффициенты
находят, как корни характеристического
уравнения:
.
Отсюда
.
5) Найдем постоянные интегрирования А1, А2.
Их находят из начальных условий, т.е. при t = +0 для искомой функции, ее производных и послекоммутационной схемы (при t = +0, ω ∞), которая приведена на рис. 6.26, в. Составим систему
;
,
из решения которой и находим А1 и А2
.
6) Анализ корней и запись окончательного решения:
а)
если
,
то корни
–
отрицательные действительные числа. И
окончательное решение записывается
так:
Учитывая,
что
;
,
а также, что при βt
0,
,
окончательно получим:
.
Такое решение называется апериодическим (рис. 6.27).
E
u2
>
0
t |
Рис. 6.27 |
,
то корни
комплексно сопряженные числа. Если
проделать то же самое и учесть, что
;
,
то при α << β, получим следующее (рис. 6.28):
E
t
=
0–
e–t |
Рис. 6.28 |
.
Здесь ω0 = (LC)–1 – собственная частота колебательного контура; β = (ω0 – α)1/2 – частота собственных колебаний в контуре при наличии резистивных потерь; α = R/(2L) – скорость затухания собственных колебаний в контуре, α =1/τ, где τ = 2L/R – постоянная времени контура.