Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Элементы вариационного исчисления

.doc
Скачиваний:
18
Добавлен:
12.03.2015
Размер:
58.37 Кб
Скачать

Элементы вариационного исчисления.

При решении инженерных задач, которые описываются с помощью мат. модели, состоящая из дифференциального уравнения и краевых условий, т.е.

(1)

{ (2)

Наряду с аналитическими и численными методами используются элементы вариационного исчисления. А именно мат. модели (1) – (2) ставится в соответствии некий функционал, минимум которого может быть решением краевой задачи (1) – (2). Поэтому ниже рассмотрим некоторые основные понятия элементов вариационного исчисления.

Первой задачей вариационного исчисления была задача о брахистохроне, сформулированный Бернулли в 1696 г. в этой задаче необходимо было найти кривую у(х), таким образом, чтобы минимизировать время спуска по этой кривой из одной точки в другую.

Бернулли показал, что время спуска записывается в виде:

(3)

Выражение 3 показывает, что Т=Т[e], т.е. может быть функцией от у, и называется функционалом, т.е. его переменная является функцией.

В общем виде выражении 3 записывают так:

(4)

Итак сформулируем главную цель вариационного исчисления.

Найти функцию у. которая доставляла бы max(min) функционала (4), в соответствии с этим стратегия поиска экстремума функционала (4) будет такой же как и нахождение экстремума функций в мат. анализе, т.е. сначала находим критические точки из условия у'(х)=0 и далее определяем max или min. В вариационном же исчислении подход остаётся прежним, но аргументом здесь может быть не числовая переменная, а функции. В вариационном исчислении мы вычисляем так называемую функциональную производную, т.е. производную по функции у=у(х) и далее приравниваем её к нулю и место критических точек из курса мат. анализа мы получаем обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) известное как уравнение Эйлера-Лагранжа решая которое, при соответствующих краевых условиях мы получаем функцию (решение) которое даёт минимум исходному функционалу вариационного исчисления, таким образом задача нахождения минимума функционала сводится к нахождению решения краевой задачи для ОДУ.

Минимизация функционала 4

Рассмотрим минимизацию функционала на классе гладкой функции, удовлетворяющих условию у(а)=А у(в)=В (5)

Далее рассмотрим вариацию гладкой функции у(х) равной , где

А функция …удовлетворяет краевым условиям:

(6)

Ясно, что функционал при всех .

Здесь функционал ведёт себя как функция следующим образом:

Если мы возьмём производную по параметру и приравняем к нулю то получим выражение

Далее интегрируя этот интеграл по частям получаем:

Поскольку последний интеграл обращается при любой функции n(x) получаем

(7)

Уравнение(7) называется уравнением Эйлера-Лагранжа

Замечание.

Хотя уравнение (7) кажется сложным, но после подставления конкретной функции оно выглядит менее сложным и превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно у(х), решая уравнение(7). Мы находим функцию у(х). которая даёт min исходному функционалу, на класс гладких функций.

Замечание 1

Основную роль играет уравнение Эйлера-Лагранжа, т.к. после подставления явного вида функции F в него получаем то или иное ДУ 2-го порядка решение которое находится обыкновенными методами.

Замечание 2

В методе вариационного исчисления основной задачей является запись функционала I(y) затем из уравнения Эйлера-Лагранжа получим ОДУ 2-го порядка и его решение.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.