Передача импульсных сигналов через интегрирующую цепь

Цепь, состоящая из RC-элементов и приведенная на рис. 6.17, называется интегрирующей RC-цепью.

Установим связь между выходным u₂ и входным u₁ напряжениями, считая входной сигнал u₁ произвольным. Используя второй закон Кирхгофа и соотношения между напряжениями и токами на элементах схемы, запишем:

u1(t) i(t) R C u2(t)

Рис. 6.17

Подставим полученные напряжения в первое выражение:

. Если R >> , то R = или . Последнее означает, что выходной сигнал есть интеграл от входного сигнала. Отсюда и название этой цепи – интегрирующая цепь.

Рассмотрим по входному сигналу два частных случая.

А. Пусть входной сигнал – ступенчатое напряжение амплитудой Е (рис. 6.14) . Используя классический метод, определим отклик цепи. 1) Составим дифференциальное уравнение и приведем его к стандартному виду

.

2) Запишем общее решение:

.

3) Найдем вынужденную составляющую общего решения

.

Вынужденную составляющую находим в стационарном (установившемся) режиме, который имеет место, когда t  ∞. В этом случае входной сигнал – постоянное напряжение величины , ему соответствует гармонический сигнал с нулевой частотой ω = 0, так как = cos ωt| _(ω=0). При таких условиях наличие индуктивности равносильно короткому замыканию (Х_L = ωL), а емкости – разрыву цепи (Х_С = (ωС)^–1).

E E u2(0) = 0 u2() = E а б

Рис.6.18

Для нахождения вынужденной составляющей составим схему замещения исходной цепи при ω = 0 (рис. 6.18, а). Из схемы следует, что u_2(=0) = Е.

4) Найдем показатель экспоненты р₁.

Коэффициенты р находят, как корни характеристического уравнения

RCр₁+1 = 0.

Отсюда р₁= –(RC)^–1.

5) Найдем постоянную интегрирования A₁.

Ее находим из общего решения при t  0 и схемы замещения исходной цепи при t  0 (ω  ∞). Она приведена на рис. 6.18, б. Запишем уравнение, откуда и найдем А₁ , А₁ = –Е.

6) Запишем общее решение: .

Выходное напряжение представляет собой импульс, нарастающий по экспоненте, характеризующийся двумя параметрами:

1) Е – амплитуда импульса; 2) τ – постоянная времени цепи.

Определим выходной сигнал при t = τ: .

Отсюда следует, что постоянная времени – это время, за которое импульс, возрастая по экспоненциальному закону, изменяется от 0 до уровня 0,63 от своего стационарного значения Е (рис. 6.19.)

E t 1 2

Рис. 6.19

И

0,63E

ногда пользуются третьим параметром. t_уст – время установления выходного напряжения. Это время, за которое сигнал достигает своего стационарного значения с заданной точностью от амплитуды импульса. Так, время установления на уровне 0,9 и 0,95 составляет t_уст 0,9 = 2,3τ; t_уст 0,95 = 3τ.

Б. Пусть входной сигнал – одиночный прямоугольный импульс (рис. 6.20) амплитудой Е и длительностью t_и. Такой импульс представляет собой суперпозицию двух ступенчатых сигналов и записывается как

.

E u1 t	E E E t t t u1 u1 u1 u2 u2 u2  << tи  >> tи  ~ tи а б в
Рис. 6.20	Рис. 6.21

Зная отклик на ступенчатый сигнал и используя принцип суперпозиции, можно записать аналитическое выражение для выходного сигнала:

L R

Рис. 6.22

.

На рис. 6.21 показаны три временных диаграммы выходного сигнала при различных соотношения между τ и t_и.

Аналогичными свойствами обладает цепь, состоящая из RL-элементов (рис. 6.22). Она называется интегрирующей RL-цепью.