15. Многошаговые методы решения задач Коши. Явная схема Адамса.

В одношаговых методах поиск значения зависит только от информации в предыдущем узле . Можно добиться большей точности, если использовать информацию о значении ф-ции в нескольких предыдущих узлах, т.е . Так поступают в методах, называемых многошаговыми. Имеем задачу Коши для ОДУ первого порядка ------- (1) -------- (2)

Будем решать задачу (1)-(2) конечноразностными многошаговыми методами. Для этого введем равномерную сетку с постоянным шагом h>0. Введем сеточную функцию и функцию правой части .

Линейным k-шаговым разностным методом называется система разностных уравнений

(3)

числовые коэффициенты, не зависящие от номера узла i, параметр m=0,1,2,…,k, причем .

Из этого уравнения (3) мы можем выразить значение сеточной функции решения через ранее найденные значения. Расчет начинается с узла с номером k (i=k), т.е. c уравнения

(4)

Следовательно, для начала расчетов необходимо знать k значений сеточной функции в узлах . Значение определяется исходной задачей Коши – условием (2), т.е . Значения можно вычислить любым одношаговым методом, например методом Рунге-Кутта нужного порядка точности. Поэтому в дальнейшем можно полагать, что все необходимые значения известны.

Из уравнения (3) видно, что в отличие от методов Рунге-Кутта многошаговые разностные методы допускают вычисления правых частей только в узлах основной сетки . В практике наибольшее распространение получили многошаговые методы Адамса, которые являются частным случаем многошаговых методов. В методах Адамса первая производная искомой функции u(x) задачи Коши аппроксимируется только по двум узлам .

Т.к. в методах Адамса аппроксимация проводится только по двум точкам, то это означает, что коэффициенты левой части принимают значения . Следовательно, методы Адамса можно записать следующим образом

(1)

Если получаем явные (экстраполяционные) методы Адамса, если , методы будут называться неявными (интерполяционными) методами Адамса. В зависимости от количества k предыдущих узлов, методы называются k –шаговыми. Например трех, четырёхшаговые методы Адамса.

Чтобы получить порядок аппроксимации конкретной многошаговой схемы, в том числе схемы Адамса, необходимо исследовать невязку (погрешность аппроксимации ) этой схемы.

(2)

Эта функция получается как результат подстановки точного решения задачи Коши в разностное уравнение вида (3) из предыдущего пункта. Чтобы метод имел требуемый порядок аппроксимации, необходимо чтобы выполнялись условия согласованности многошагового метода, т.е условия, накладываемые на коэффициенты схемы . (см.Сам.Ч.М. стр.233).

Для методов Адамса доказывается, что наивысший порядок аппроксимации k-шагового неявного метода Адамса равен k+1, а наивысший порядок аппроксимации k-шагового явного ( ) метода Адамса равен k.

В практических расчетах чаще всего используется вариант явного метода Адамса, имеющий 4 порядок точности и использующий на каждом шаге значения сеточных функций в четырех предыдущих узлах.

На основе методов Адамса разработан целый ряд весьма сложных алгоритмов и программ для математических пакетов. В этих программах методы Адамса реализованы таким образом, что имеется возможность изменять не только величину шага сетки, но и порядок самого метода. В настоящее время существуют программы, максимальный порядок точности которых достигает 13.