34. Вариационно-проекционные методы решения краевых задач.

В основе этих методов лежит идея аппроксимации решения дифференциального уравнения (задачи) конечной линейной комбинацией заданных функций. Эти заранее заданные функции, называемые обычно базисными (или пробными) функциями, выбираются относительно простыми: полиномы, тригонометрические функции или сплайн-функции. Наиболее важными являются сплайн-функции.

Рассмотрим идею вариационно-проекционных методов. Пусть имеем граничную задачу вида

(1)

(2)

(3)

где (1) –дифференциальное уравнение n-го порядка, не обязательно линейное. Функции имеют общее количество условий, совпадающее с порядком исходного дифференциального уравнения.

Приближенное решение, удовлетворяющее уравнениям (1)-(3), в проекционно-вариационных методах строится в виде линейной комбинации

(4)

Здесь – базисные функции, т.е. набор известных линейно независимых аналитических функций. Коэффициенты - вещественные числа, непосредственные значения которых находят в зависимости от каждого конкретного метода:

а) в вариационных методах значения коэффициентов находят из условия минимума некоторого функционала (u) на подпространстве, которое определяется базисными функциями. Этот функционал (u) строится таким образом, чтобы задача его минимизации была эквивалентна решению исходной краевой задачи (1)-(3);

b) в проекционных методах значения коэффициентов определяют из условий, накладываемых на невязку уравнения (1). Как правило, требуется ортогональность невязки исходного уравнения к системе базисных функций. В этих методах полагают, что точное решение исходной граничной задачи лежит в некотором бесконечномерном функциональном пространстве. Строится приближенное решение, лежащее в конечномерном пространстве, определяемым базисными функциями. Это приближенное решение является проекцией бесконечномерного функционального пространства на конечномерное пространство, определенное базисными функциями

Одним из основных вопросов вариационно-проекционных методов является вопрос выбора базисных функций. Пусть для простоты имеем задачу, в основе которой лежит линейное дифференциальное уравнение второго порядка следующего вида

(5)

где p(x), q(x), f(x)- известные функции Задача имеет граничные условия первого рода

u(0)=A u(1)=B (6)

Будем искать приближенное решение этой задачи (5)-(6) в виде

(7)

Функция выбирается таким образом, чтобы выполнялись граничные условия задачи, т.е.

. (8)

А базисные функции удовлетворяют нулевым граничным условиям, т.е.

(9)

В этом случае приближенное решение y(x), задаваемое формулой (7) будет удовлетворять граничным условиям (6). Классическим примером набора базисных функций, для которых справедливо соотношение (9), являются функции

, (10)

или

(11)

В последнем случае, т.е. когда базисные функции определяются формулой (11), приближенное решение (7) будет полиномом

(12)

степени n+1, который обращается в ноль на концах отрезка, т.е.в точках 0 и 1.

Если решение ищем на произвольном отрезке [a,b], то наиболее употребительными системами базисных функций для исходной задачи будут следующие:

i=1,2,…, n (13)

i=1,2,…, n (14)

i=1,2,…, n (15)

Однако, наилучшим набором базисных функций являются сплайны, т.к. их применение позволяет сформировать в итоге матрицу ленточного вида, что значительно упрощает поиск решения задачи.

Следующим вопросом вариационно-проекционных методов при заданном наборе базисных функций является выбор критерия, который следует использовать для определения коэффициентов . Существуют разнообразные подходы к выбору критерия, дающие название методам: метод коллокаций, метод Галеркина, метод моментов, метод наименьших квадратов и т.д.