- •2. Понятие оду. Задача Коши, граничная задача.
- •3. Общая характеристика методов решения оду.
- •4. Постановка задачи Коши. Классификация численных методов её решения.
- •5. Схема Эйлера для решения задачи Коши. Графический способ построения. Св-ва и погрешность м-да.
- •6. Построение схемы Эйлера способом разложения в ряд Тейлора. Оценка точности метода.
- •7. Построение схемы Эйлера для решения задачи Коши разностным методом. Характеристика схемы.
- •8. Усовершенствованный метод Эйлера для решения задачи Коши. Свойства и погрешность метода.
- •9. Схема Эйлера-Коши для задачи Коши. Контроль точности решения.
- •10. Сходимость и порядок аппроксимации метода Эйлера.
- •11. Семейство методов Рунге-Кутта решения задачи Коши. Примеры методов Рунге-Кутта. (1 и 2 порядка точности).
- •12. Методы Рунге-Кутта 3 и 4 порядков точности. Выбор шага сетки. Оценка погрешности методов рунге-Кутта.
- •13. Методы Рунге-Кутта. Примеры схем различного порядка точности. Достоинства и недостатки этих методов.
- •14. Многошаговые методов решения задачи Коши. Интерполяционная и экстраполяционная схемы.
- •15. Многошаговые методы решения задач Коши. Явная схема Адамса.
- •16. Использование интерполяционных и квадратурных формул для построении многошаговых схем Адамса решения оду.
- •17. Практическая реализация явной и неявной схем Адамса.
- •18. Многошаговые методы решения задачи Коши. Неявная схема Адамса.
- •19. Сравнительная характеристика методов Адамса.
- •20. Повышение точности результатов при решении задачи Коши. Правило Рунге.
- •21. Численные метод решения систем оду. Схема Эйлера.
- •22. Численные метод решения систем оду. Схемы рунге-Кутта.
- •23. Жёсткие системы ду.
- •24. Численное дифференцирование конечными разностями. Оценка погрешности метода. Источники погрешностей.
- •25. Постановка двухточечной граничной задачи и классификация методов её решения.
- •26. Методы решения граничных задач для оду. Общая характеристика.
- •27. Метод редукции для решения краевых задач.
- •28. Применение метода редукции для решения краевой задачи на основе оду-2.
- •29. Решение краевой задачи методом стрельбы. Геометрическая интерпретация.
- •30. Метод стрельбы для решения краевой задачи на основе оду-2
- •31. Решение линейных и нелинейных краевых задач методом сеток.
- •32. Метод сеток для решения краевой задачи на основе оду-2
- •33. Метод прогонки для решения краевых задач второго порядка
- •34. Вариационно-проекционные методы решения краевых задач.
- •35. Метод коллокаций решения граничных задач.
- •36. Метод Галёркина для решения граничных задач на основе линейного ду.
- •37. Методы коллокаций и Галёркина для решения граничных задач на основе нелинейного ду.
- •40. Сравнительные характеристики методов решения граничных задач.
- •43. Приближённое вычисление интегралов.
- •43. Формула трапеций
- •44. Формулы Симпсона. Оценка погрешности.
- •45. Интегральные уравнения. Постановка задачи. Виды линейных интегральных уравнений.
- •Виды интегральных уравнений и соответствующие им задачи
- •46. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •47. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •48. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •49. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •50. Решение интегральных уравнений. Метод замены ядра на вырожденное.
37. Методы коллокаций и Галёркина для решения граничных задач на основе нелинейного ду.
Рассмотренные методы коллокаций и Галеркина можно применять к решению граничных задач, в основе которых лежит нелинейное дифференциальное уравнение. Рассмотрим для простоты задачу следующего вида
(1)
u(0)=0, u(1)=0 (2)
Здесь g(x,u(x))- заданная нелинейная функция одной переменной.
Будем искать приближенное решение задачи (1)-(2) в виде
(3)
где базисные функции , i=1,…,n удовлетворяют нулевым граничным условиям, т.е. =0 и функция . Классическими примерами набора базисных функций, удовлетворяющих условиям (2) являются функции
, или , k=1,2,…,n
В методе коллокаций, как и прежде, выберем на отрезке не обязательно равноудаленных n точек и потребуем, чтобы приближенное решение (3) удовлетворяло уравнениям (1),(2) в заданных точках. При этом предполагается, что базисные функции являются дважды дифференцируемыми. Это требование приводит к системе уравнений
k=1,2,..,n (4)
относительно коэффициентов . Т.к. функция g(x,u(x)) является нелинейной, то и система (4) также будет нелинейной. Решать ее нужно известными методами для решения нелинейных алгебраических систем (например, методом итераций). Определив неизвестные , их значения подставим в формулу (3) и таким образом найдем искомое решение исходной задачи.
Аналогичными рассуждениями для метода Галеркина найдем, что невязка будет определяться соотношением
(5)
Требованием ортогональности невязки ко всем базисным функциям i=1,…,n получаем соответствующую систему уравнений
k=1,2,..,n (6)
Если проинтегрировать первый член по частям, то можно привести эту систему к виду
- k=1,2,…,n (7)
Система (7) относительно коэффициентов также является нелинейной из-за нелинейности функции g(x,u(x)) и для ее решения должны использоваться известные итерационные методы.
40. Сравнительные характеристики методов решения граничных задач.
В каждом из этих методов главной вычислительной проблемой явл реш сис-мы алгебраических уравнений. Однако, несмотря на то, что в конечно-разностных методах и методе коллокаций системы строятся по n узловым точкам отрезка, природа решений этих систем совершенно различна. В конечно-разностных методах – это приближения к значениям решения ДУ в точках сетки, а в методе коллокаций – это коэффициенты линейного представления для приближенного решения исх зад. Т.О. м-ды коллокаций и Галеркина дают представление приближ-ого реш-ия сразу на всём отр-ке [a,b]. => метод коллокаций (и Галеркина) для получения значения приближенного решения в произвольной точке отрезка [a,b] требует дополнительных вычислений по формуле . Нах-ие приближ-ого реш-ия в точке от-ка [a,b] для конечно-разностных ме-в, если не является узлом сетки, потребует использовать интерполяцию или пересчет по новой сетке, в которой уже будет являться узлом.
Сис-ма алгебраических уравнений м-да конечных разностей строится легко и обладает тем важным св-вом (для используемых разностных аппроксимаций 2-го порядка), что построенная матрица коэфф-в сис-мы явл трёхдиагональной. => реш такой сис-мы связано со сравнительно небольшими затратами машинных ресурсов. Если в м-де коллокаций выбраны простые базисные функции i=1,2,..,n, то матрица коэфф-в будет выч-ся легко. Однако в общем случае эта матрица будет заполненной, а значит решение системы с такой матрицей потребует значительных затрат памяти и времени счета. Аналогично и для метода Галеркина. Однако, если использовать в качестве базисных сплайн-функции, то полученная система будет иметь трёхдиагональную матрицу.
М-д Галеркина для построения матрицы итоговой сис-мы требует выч-ия интегралов по всему отрезку. Явное выч-ие таких интегралов возможно в редких случаях, когда под интегралом оказываются ф-ции очень простого вида. Приближенное выч-ие интегралов приводит к накоплению доп-х погреш-ей. Целесообразным представляется привлечение возможностей символьной компьютерной матем для вычисления таких интегралов.
Если в основе краевой задачи лежит ОДУ и однородные (нулевые) граничные усл-я, то применение метода Галеркина приводит к системе с симметричной матрицей. Это несомненное преимущество метода Галеркина по сравнению с методом коллокаций и конечно-разностными методами.
Ни один из рассмотренных методов не имеет явного превосходства над другими. Для каждого м-да можно указать задачи, в кот-х он окажется наилучшим. Выяснение вопроса, какой из 3-х рассм-х м-в в применение к конкретной задаче наиболее эффективен, может оказаться достаточно сложным и потребовать специального анализа. М-д конечных разностей идейно прост, легко реализуем, при исп-ии центр-х разностей дает 2й порядок точности. Поэтому для ОДУ конечно-разностные м-ды в большинстве случаев оказываются предпочтительнее. Метод коллокаций, исп-щий в кач баз-х сплайн-функции, также можно считать относительно простым. М-д Галеркина, требующий численного интегрирования для вычисления коэфф-в матрицы, более труден для реализации. Наилучшее применение метод Галеркина имеет для решения краевых задач, в основе кот-х лежит ДУ в частных производных.