Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МЧА шпоры 6 сем.doc
Скачиваний:
132
Добавлен:
26.09.2019
Размер:
1.5 Mб
Скачать

37. Методы коллокаций и Галёркина для решения граничных задач на основе нелинейного ду.

Рассмотренные методы коллокаций и Галеркина можно применять к решению граничных задач, в основе которых лежит нелинейное дифференциальное уравнение. Рассмотрим для простоты задачу следующего вида

(1)

u(0)=0, u(1)=0 (2)

Здесь g(x,u(x))- заданная нелинейная функция одной переменной.

Будем искать приближенное решение задачи (1)-(2) в виде

(3)

где базисные функции , i=1,…,n удовлетворяют нулевым граничным условиям, т.е. =0 и функция . Классическими примерами набора базисных функций, удовлетворяющих условиям (2) являются функции

, или , k=1,2,…,n

В методе коллокаций, как и прежде, выберем на отрезке  не обязательно равноудаленных n точек и потребуем, чтобы приближенное решение (3) удовлетворяло уравнениям (1),(2) в заданных точках. При этом предполагается, что базисные функции являются дважды дифференцируемыми. Это требование приводит к системе уравнений

k=1,2,..,n (4)

относительно коэффициентов . Т.к. функция g(x,u(x)) является нелинейной, то и система (4) также будет нелинейной. Решать ее нужно известными методами для решения нелинейных алгебраических систем (например, методом итераций). Определив неизвестные , их значения подставим в формулу (3) и таким образом найдем искомое решение исходной задачи.

Аналогичными рассуждениями для метода Галеркина найдем, что невязка будет определяться соотношением

(5)

Требованием ортогональности невязки ко всем базисным функциям i=1,…,n получаем соответствующую систему уравнений

k=1,2,..,n (6)

Если проинтегрировать первый член по частям, то можно привести эту систему к виду

- k=1,2,…,n (7)

Система (7) относительно коэффициентов также является нелинейной из-за нелинейности функции g(x,u(x)) и для ее решения должны использоваться известные итерационные методы.

40. Сравнительные характеристики методов решения граничных задач.

  1. В каждом из этих методов главной вычислительной проблемой явл реш сис-мы алгебраических уравнений. Однако, несмотря на то, что в конечно-разностных методах и методе коллокаций системы строятся по n узловым точкам отрезка, природа решений этих систем совершенно различна. В конечно-разностных методах – это приближения к значениям решения ДУ в точках сетки, а в методе коллокаций – это коэффициенты линейного представления для приближенного решения исх зад. Т.О. м-ды коллокаций и Галеркина дают представление приближ-ого реш-ия сразу на всём отр-ке [a,b]. => метод коллокаций (и Галеркина) для получения значения приближенного решения в произвольной точке отрезка [a,b] требует дополнительных вычислений по формуле . Нах-ие приближ-ого реш-ия в точке от-ка [a,b] для конечно-разностных ме-в, если не является узлом сетки, потребует использовать интерполяцию или пересчет по новой сетке, в которой уже будет являться узлом.

  2. Сис-ма алгебраических уравнений м-да конечных разностей строится легко и обладает тем важным св-вом (для используемых разностных аппроксимаций 2-го порядка), что построенная матрица коэфф-в сис-мы явл трёхдиагональной. => реш такой сис-мы связано со сравнительно небольшими затратами машинных ресурсов. Если в м-де коллокаций выбраны простые базисные функции i=1,2,..,n, то матрица коэфф-в будет выч-ся легко. Однако в общем случае эта матрица будет заполненной, а значит решение системы с такой матрицей потребует значительных затрат памяти и времени счета. Аналогично и для метода Галеркина. Однако, если использовать в качестве базисных сплайн-функции, то полученная система будет иметь трёхдиагональную матрицу.

  3. М-д Галеркина для построения матрицы итоговой сис-мы требует выч-ия интегралов по всему отрезку. Явное выч-ие таких интегралов возможно в редких случаях, когда под интегралом оказываются ф-ции очень простого вида. Приближенное выч-ие интегралов приводит к накоплению доп-х погреш-ей. Целесообразным представляется привлечение возможностей символьной компьютерной матем для вычисления таких интегралов.

  4. Если в основе краевой задачи лежит ОДУ и однородные (нулевые) граничные усл-я, то применение метода Галеркина приводит к системе с симметричной матрицей. Это несомненное преимущество метода Галеркина по сравнению с методом коллокаций и конечно-разностными методами.

  5. Ни один из рассмотренных методов не имеет явного превосходства над другими. Для каждого м-да можно указать задачи, в кот-х он окажется наилучшим. Выяснение вопроса, какой из 3-х рассм-х м-в в применение к конкретной задаче наиболее эффективен, может оказаться достаточно сложным и потребовать специального анализа. М-д конечных разностей идейно прост, легко реализуем, при исп-ии центр-х разностей дает 2й порядок точности. Поэтому для ОДУ конечно-разностные м-ды в большинстве случаев оказываются предпочтительнее. Метод коллокаций, исп-щий в кач баз-х сплайн-функции, также можно считать относительно простым. М-д Галеркина, требующий численного интегрирования для вычисления коэфф-в матрицы, более труден для реализации. Наилучшее применение метод Галеркина имеет для решения краевых задач, в основе кот-х лежит ДУ в частных производных.